31 – Stabtorsionsschwingungen 2 – Freie Schwingungen

 

Wir gehen von einem Stab mit konstanter Torsionssteifigkeit aus, also GIp = const.
Aus der freien Schwingung folgt mT = 0.

Die Differentialgleichung vereinfacht sich damit wie folgt:

GI_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \rho I_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Wir setzen

c_T^2  = \frac{{GI_p }} {{\rho I_p }} = \frac{G} {\rho }

und erhalten

c_T^2 \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Dabei ist cT die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Torsionswellen. Wir können das Schubmodul ersetzen:

c_T  = \sqrt {\frac{G} {\rho }}  = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {1+\nu } \right)\rho }}}

Behandlung der Funktion für den Torsionswinkel analog zum Stab:

\vartheta \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat \vartheta _j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

= \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left( {C_j \cos K_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

Vergleich der Ausbreitungsgeschwindigkeiten

Hier sollen abschließend noch die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellen in verschiedenen Kontinuumsschwingern verglichen werden.

Allgemein für freie Schwingungen:

c^2 \frac{{\partial ^2 }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 }} {{\partial t^2 }}

Transversalwellen in einer Saite:

c_s^2 \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}

c_s  = \sqrt {\frac{S} {\mu }}  = \sqrt {\frac{S} {{\rho A}}}

Dehnwellen im Stab:

c_D^2 \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

c_D  = \sqrt {\frac{E} {\rho }}

Torsionswellen im Torsionsstab:

c_T^2 \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

c_T  = \sqrt {\frac{G} {\rho }}  = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {\nu +1} \right)\rho }}}

Zahlenbeispiel

Stahl:

E = 206 · 109 Pa
ρ = 7850 kg/m3
ν = 0,3

c_D  = \sqrt {\frac{E} {\rho }}  = 5123\frac{m} {s}

c_T  = \sqrt {\frac{G} {\rho }}  = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {\nu +1} \right)\rho }}}  = 3177\frac{m} {s}

Für die Saite gehen wir von einer Gitarrensaite aus, die auf 110 Hz gestimmt ist:

f_1  = 110Hz

l = 0,7m

f_1  = \frac{1} {{2l}}\underbrace {\sqrt {\frac{S} {\mu }} }_{c_S }

c_S  = 2lf_1  = 1,4m \cdot 110\frac{1} {s} = 154\frac{m} {s}

Die Saitenschwingung breitet sich also sehr viel langsamer aus als die Torsions- oder Dehnschwingung.