30 – Stabtorsionsschwingungen 1 – Herleitung der DGL

 

Wir betrachten ausschließlich Stäbe mit Kreis- oder geschlossenem Kreisringquerschnitt.

Herleitung der DGL

Der Drallsatz um die x-Achse lautet:

d\Theta \ddot \vartheta  = M_T +dM_T -M_T +m_T dx

mit

d\Theta  = \rho I_p dx

und

dM_T  = \frac{{\partial M_T }} {{\partial x}}dx

sowie der Materialgleichung für das Torsionsmoment

M_T  = GI_p \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial x}}

ergibt

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {GI_p \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial x}}} \right)+m_T  = \rho I_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Ip: polares Flächenträgheitsmoment
GIp: Torsionssteifigkeit
ρ: Dichte
mT(x, t): eingeprägtes Torsionsmoment pro Längeneinheit
θ(x, t): Torsionswinkel