08 – Stahlkugel im Wasserbad

 

Ein wärmeisolierter Behälter enthält 20d{m^3} Wasser, das die Temperatur {T_W} = 20{{^\circ C}} besitzt. Zur Zeit t = 0 wird eine erwärmte Stahlkugel mit einem Volumen {V_S} = 1d{m^3} und einer Temperatur {T_S} = 40^{\circ} C in das Wasserbad eingebracht.

Aufgaben:

  1. Berechnen Sie die Temperatur {T_E} , die das adiabate Gesamtsystem für t \to \infty einnimmt.
  2. Wie schnell ändert sich die Temperatur der Stahlkugel mit der Zeit zum Zeitpunkt t = 0 ?
  3. Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperatur der Stahlkugel für die vereinfachte Annahmen, dass die Temperatur des Wassers als konstant angenommen werden kann.
  4. Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperaturen der Stahlkugel für den allgemeinen Fall, dass sich beide Temperaturen {T_W} und {T_S} mit der Zeit ändern.
  5. Bestimmen Sie die so genannte Halbwertszeit {t_H} für die Auswertung nach c) bei der die anfängliche Temperaturdifferenz {T_{S,0}}-{T_{W,0}} auf den halben Wert gefallen ist.

Für die Berechnung gelten die folgenden Annahmen:

  • der Behälter besitzt eine vernachlässigbar kleine Wärmekapazität
  • der Wärmetransfer zwischen Kugel und Wasser kann durch einen konstanten Wärmeübergangskoeffizienten h = 1000\frac{W}{{{m^2}K}} beschrieben werden
  • die Wärmeleitvorgänge im Wasser und in der Kugel laufen beliebig schnell ab, d.h. die Temperaturen {T_W}\left( t \right) und {T_S}\left( t \right) der beiden Teilsysteme sind keine Funktion des Ortes.

Die benötigten Stoffdaten sind:

\begin{array}{*{20}{c}}    {Material} &\vline &  {Wasser} & {Stahl\:\:St52}  \\ \hline    {Dichte\:\:\rho \left[ {\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right]} &\vline &  {998,2} & {7850}  \\    {spez.\:\:W\ddot armekapazit\ddot at\:\:c\left[ {\frac{J} {{kgK}}} \right]} &\vline &  {4180} & {490}  \\   \end{array}

Lösung

Skizze des Problems mit grün umrandetem Gesamtsystem:

stahlkugel-wasserbad-aufgabe-warmeubertragung

Es wird angenommen, dass die Wärmekapazität des Behälters vernachlässigt werden kann und dass die Temperaturen im Stahl und im Wasser als räumlich konstant angesehen werden können. Diese Ortsunabhängigkeit vereinfacht die Problemstellung auf ein zeitabhängiges System für zwei verschiedene Teilsysteme, nämlich das Wasser und die Stahlkugel.

a )

Erster Hauptsatz über das Gesamtsystem:

\frac{{dU}}{{dt}} = \underbrace {\sum {\dot Q} }_{ = 0}+\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0} = 0\quad \Rightarrow \quad {U_1} = {U_2}

{U_1} = {m_W}{c_W}{T_{W,0}}+{m_S}{c_S}{T_{S,0}}

{U_2} = {m_W}{c_W}{T_E}+{m_S}{c_S}{T_{E}},

{C_W} = {m_W}{c_W} = {\rho _W}{V_W}{c_W} = 998,2\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 0,02{m^3} \cdot 4,18\frac{{kJ}}{{kgK}} = 83,45\frac{{kJ}}{K}

{C_S} = {m_S}{c_S} = {\rho _S}{V_S}{c_S} = 7850\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 0,001{m^3} \cdot 0,49\frac{{kJ}}{{kgK}} = 3,847\frac{{kJ}}{K}

Damit erhalten wir die gesuchte Endtemperatur:

{T_E} = \frac{{{C_W}{T_{W,0}}+{C_S}{T_{S,0}}}}{{{C_W}+{C_S}}} = 20,88^\circ C

Folgendes Diagramm zeigt den Temperaturverlauf:

stahlkugel-wasser-temperaturausgleich-verlauf

b )

Wir stellen den ersten Hauptsatz für die Stahlkugel auf:

\frac{{d{U_S}}}{{dt}} = -\dot Q

Das Kühlgesetz von Newton lautet:

\dot Q = h \cdot {A_S}\left( {{T_S}\left( t \right)-{T_W}\left( t \right)} \right)

Wir erhalten so eine Gleichung für die Temperaturänderung der Stahlkugel mit der Zeit zum Zeitpunkt t = 0:

h \cdot {A_S}\left( {{T_{W,0}}-{T_{S,0}}} \right) = {m_S}{c_S}{\left[ {\frac{{d{T_S}}}{{dt}}} \right]_{t = 0}}

{\left[ {\frac{{d{T_S}}}{{dt}}} \right]_{t = 0}} = \frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_{W,0}}-{T_{S,0}}} \right)

Die Oberfläche der Kugel ist

{A_S} = 4\pi {r^2} = 4\pi \frac{{{d^2}}}{4} = \pi {d^2}

Den Durchmesser bestimmen wir aus dem Volumen:

{V_S} = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{d}{2}} \right)^3} = \frac{1}{6}\pi {d^3}\quad \Rightarrow \quad d = \sqrt[3]{{\frac{{6{V_S}}}{\pi }}}

Einsetzen:

{A_S} = \pi {\left( {\frac{{6{V_S}}}{\pi }} \right)^{\frac{2}{3}}} = 0,0484{m^2}

Eingesetzt in die Gleichung für die Temperaturänderung zum Zeitpunkt t = 0 erhalten wir die Abkühlgeschwindigkeit der Stahlkugel zu Beginn des Abkühlvorgangs:
{\left[ {\frac{{d{T_S}}}{{dt}}} \right]_{t = 0}} = \frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_{W,0}}-{T_{S,0}}} \right) = \frac{{1000\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,0484{m^2}}}{{3847\frac{J}{K}}}\left( {-20K} \right) = -0,252\frac{K}{s}

c )

Nun soll die Differentialgleichung für den Fall aufgestellt werden, dass die Wassertemperatur als konstant angesehen werden kann. Der Struktur nach ist die DGL schon in b) aufgestellt worden, hergeleitet aus dem ersten Hauptsatz und dem Newton’schen Kühlgesetz:

\frac{{d{T_S}}}{{dt}} = \frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_{W,0}}-{T_S}} \right)

Die einzige zeitabhängige Größe ist die Temperatur der Stahlkugel {T_S}. Die DGL wird nun entdimensioniert. Wir wählen:

\theta : = \frac{{{T_S}-{T_{W,0}}}}{{{T_{S,0}}-{T_{W,0}}}}

\quad \Rightarrow \quad {T_S} = \left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta +{T_{W,0}}

\quad \Rightarrow \quad d{T_S} = \left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot d\theta

Eingesetzt in die DGL erhalten wir:

\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = -\frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta

\frac{{d\theta }}{{dt}} = -\frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}} \cdot \theta

Wir brauchen nun noch eine dimensionslose Zeit. Wünschenswert ist, dass sich die DGL vereinfacht:

-\theta = \frac{{{C_S}}}{{h \cdot {A_S}}}\frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{d\theta }}{{d\tau }}\quad \Rightarrow \quad dt = \frac{{{C_S}}}{{h \cdot {A_S}}} \cdot d\tau

Wir wählen daher die dimensionslose Zeit als

\tau = t \cdot \frac{{h \cdot {A_S}}}{{{C_S}}}

Es ergibt sich wie geplant:

-\theta = \frac{{d\theta }}{{d\tau }}

d )

Wir bestimmen nun die Differentialgleichung für den Fall, dass die Wassertemperatur zeitlich veränderlich ist. In Anlehnung an b) erhalten wir zunächst:

\frac{{d{T_S}}}{{dt}} = -\frac{{h{A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_W}-{T_S}} \right)

Mit Bilanz aus a) folgt, dass die Wassertemperatur mit der Temperatur der Stahlkugel verknüpft ist:

0 = {C_W}\left( {{T_{W,0}}-{T_W}} \right)+{C_S}\left( {{T_{S,0}}-{T_S}} \right)

{T_W} = {T_{W,0}}+\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_S}} \right)

Wir stellen die Differentialgleichung um und setzen ein:

\frac{{d{T_S}}}{{dt}} = \frac{{h{A_S}}}{{{C_S}}}\left( {{T_W}-{T_S}} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}}\frac{{d{T_S}}}{{dt}} = {T_{W,0}}-{T_S}+\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_S}} \right)

Nun setzen wir die dimensionslose Temperatur aus Aufgabenteil c) ein:

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}}

= {T_{W,0}}-\left( {\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta +{T_{W,0}}} \right)+\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {{T_{S,0}}-\left( {\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta +{T_{W,0}}} \right)} \right)

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}}

= -\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta +\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right)-\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta } \right)

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = -\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right) \cdot \theta +\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right)\left( {1-\theta } \right)

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}\left( {1-\theta } \right)-\theta

Wir multiplizieren aus und fassen neu zusammen:

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}-\theta \frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}-\theta

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}-\theta \left( {\frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}+1} \right)

\frac{{{C_S}}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{{C_S}}}{{{C_W}}}-\theta \left( {\frac{{{C_S}+{C_W}}}{{{C_W}}}} \right)

\frac{{{C_W}}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{{C_S}}}{{{C_S}+{C_W}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{{C_S}}}{{{C_S}+{C_W}}}-\theta

Wir definieren:

\tilde C = \frac{{{C_S}}}{{{C_W}-{C_S}}}

Und erhalten die Differentialgleichung:

\frac{{{C_W}\tilde C}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \tilde C-\theta

Wir führen nun erneut eine dimensionslose Zeit ein (nicht die gleiche wie in c)!):

\frac{{{C_W}\tilde C}}{{h{A_S}}} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{d\theta }}{{d\tilde \tau }}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{C_W}\tilde C}}{{h{A_S}}} \cdot d\tilde \tau = dt

Wir wählen also

\tilde \tau = t \cdot \frac{{h{A_S}}}{{{C_W}\tilde C}}

Eingesetzt:

\frac{{d\theta }}{{d\tilde \tau }} = \tilde C-\theta \quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tilde \tau }}+\theta = \tilde C

Die allgemeine Lösung dieser DGL setzt sich aus der homogenen und der partikulären Lösung zusammen.

Homogene Differentialgleichung:

\frac{{d\theta }}{{d\tilde \tau }}+\theta = 0

Lösung:

{\theta _h} = {C_1}{e^{-\tilde \tau }}

Partikuläre Lösung: Konstante Funktion

{\theta _p} = \tilde C

Die Lösung der DGL ist also:

\theta = {C_1}{e^{-\tilde \tau }}+\tilde C

Anfangsbedingung:

\theta \left( {\tilde \tau = 0} \right) = \frac{{{T_{S,0}}-{T_{W,0}}}}{{{T_{S,0}}-{T_{W,0}}}} = 1

Daraus ergibt sich für die Konstante:

1 = {C_1}{e^0}+\tilde C\quad \Rightarrow \quad {C_1} = 1-\tilde C

Eingesetzt:

\theta = \left( {1-\tilde C} \right){e^{-\tilde \tau }}+\tilde C

e )

Die Halbwertszeit {t_H} ist dann erreicht, wenn die Temperaturdifferenz zwischen Wasser und Stahlkugel auf die Hälfte ihres Ausgangswertes gefallen ist, d.h.

{T_S}-{T_{W,0}} = \frac{1}{2}\left( {{T_{S,0}}-{T_{W,0}}} \right)\quad \Rightarrow \quad {\theta _H} = \frac{1}{2}

Für die Lösung der dimensionslosen DGL aus Teil c) ergibt sich:

\theta = {e^{-\tau }}

Damit erhält man für die Halbwertszeit:

{\tau _H} = -\ln \left( {{\theta _H}} \right) = -\ln \left( {\frac{1}{2}} \right) = 0,6931

Das müssen wir nun noch in eine echte Zeit umrechnen:

{t_H} = {\tau _H}\frac{{{C_S}}}{{h \cdot {A_S}}} = 0,6931 \cdot \frac{{3847\frac{J}{K}}}{{1000\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,0484{m^2}}} = 55,1s