3.11 – Stationärer Horizontalflug mit minimalem Widerstand

 

Ein Flugzeug führt einen stationären Horizontalflug mit der Fluggeschwindigkeit aus, bei der der Widerstand minimal ist.

  1. Entwickeln Sie – ausgehend vom Kräftegleichgewicht im stationären Horizontalflug – eine Beziehung, die die Berechnung dieser Geschwindigkeit ermöglicht. Gehen Sie dabei auf die Darstellung der Flugzeugpolare ein.
  2. Wie ändert sich diese Geschwindigkeit, wenn die Flugzeugmasse um 10% abnimmt?
  3. Erklären Sie anschaulich, weshalb mit abnehmender Flugzeugmasse der Widerstand abnimmt.

Lösung 3.11

a)

horizontalflug-kraftegleichgewicht

\bar q = \frac{\rho } {2}{V^2}

{C_W} = {C_{W0}}+k \cdot C_A^2

A = {C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S = mg\quad \Rightarrow \quad {C_A} = \frac{{2mg}} {{\rho {V^2}S}}

Für den Widerstand gilt (vergleiche Aufgabe 3.08 a):

W = {C_W}\bar qS = {C_W}\frac{\rho } {2}{V^2}S = \left( {{C_{W0}}+kC_A^2} \right)\left( {\frac{\rho } {2}{V^2}S} \right)

= {C_{W0}}\frac{\rho } {2}{V^2}S+k{\left( {\frac{{2mg}} {{\rho {V^2}S}}} \right)^2}\frac{\rho } {2}{V^2}S

W = {C_{W0}}\frac{\rho } {2}S{V^2}+k\frac{{2{{\left( {mg} \right)}^2}}} {{\rho S}}\frac{1} {{{V^2}}}

Dies leiten wir nach der Geschwindigkeit ab, um die Geschwindigkeit bei minimalem Widerstand zu bestimmen:

\frac{W} {{mg}} = {C_{W0}}\frac{{\rho S}} {{2mg}}{V^2}+k\frac{{2mg}} {{\rho S}}\frac{1} {{{V^2}}}

\frac{{d\frac{W} {{mg}}}} {{dV}} = 2{C_{W0}}\frac{{\rho S}} {{2mg}}V-2k\frac{{2mg}} {{\rho S}}\frac{1} {{{V^3}}}\mathop = \limits^! 0

{C_{W0}}\frac{{\rho S}} {{2mg}}{V^4} = k\frac{{2mg}} {{\rho S}}

V = \sqrt[4]{{\frac{{k\frac{{2mg}} {{\rho S}}}} {{{C_{W0}}\frac{{\rho S}} {{2mg}}}}}} = \sqrt[4]{{\frac{k} {{{C_{W0}}}}{{\left( {\frac{{2mg}} {{\rho S}}} \right)}^2}}} = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S}}} \sqrt[4]{{\frac{k} {{{C_{W0}}}}}} = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S}}} \sqrt[4]{{\frac{1} {{C_A^{*2}}}}}

= \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S}}\frac{1} {{C_A^*}}} = {V^*}

b)

Wenn m um 10% abnimmt, nimmt die Geschwindigkeit {V^*} um \sqrt {\frac{9} {{10}}} \approx 5,1\% ab.

c)

Für den Widerstand gilt:

W = {C_{W0}}\frac{\rho } {2}S{V^2}+k\frac{{2{{\left( {mg} \right)}^2}}} {{\rho S}}\frac{1} {{{V^2}}}

Daraus folgt sofort, dass der Widerstand mit abnehmender Masse kleiner wird. Anschaulich: Wenn das Flugzeug leichter ist, muss nicht so viel Auftrieb erzeugt werden, daher entsteht auch weniger auftrieb-induzierter Widerstand.