5.3 – Statische Kondensation

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Statische Kondensation kann zum Aufbau von Elementen mit höherwertigen Ansatzfunktionen verwendet werden. Dazu werden innere Knoten eingeführt, die später durch Kondensation eliminiert werden. Die Grundidee ist es, das Gleichungssystem zu verkleinern, um bei der Berechnung den Aufwand zu senken.

5.3.1 Reduktion des Gleichungssystems

Die Bewegungsgleichung ohne den dynamischen Term kann wie folgt unterteilt werden:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {{K_{xx}}} \right]}&{\left[ {{K_{xy}}} \right]} \\ {\left[ {{K_{yx}}} \right]}&{\left[ {{K_{yy}}} \right]} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{{{U_x}} \right\}} \\ {\left\{{{U_y}} \right\}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{{{R_x}} \right\}} \\ {\left\{{{R_y}} \right\}} \end{array}} \right\}

Dabei sind \left\{{{U_x}} \right\} und \left\{{{U_y}} \right\} die Vektoren der Knotenfreiheitsgrade, die als Unbekannte beibehalten bzw. eliminiert werden sollen.

Es folgt das reduzierte Gleichungssystem. Zweite Gleichung:

\left[ {{K_{yx}}} \right]\left\{{{U_x}} \right\}+\left[ {{K_{yy}}} \right]\left\{{{U_y}} \right\} = \left\{{{R_y}} \right\}

\Rightarrow \quad \left\{{{U_y}} \right\} = {\left[ {{K_{yy}}} \right]^{-1}}\left( {\left\{{{R_y}} \right\}-\left[ {{K_{yx}}} \right]\left\{{{U_x}} \right\}} \right)

Erste Gleichung:

\left[ {{K_{xx}}} \right]\left\{{{U_x}} \right\}+\left[ {{K_{xy}}} \right]\left\{{{U_y}} \right\} = \left\{{{R_x}} \right\}

Einsetzen ergibt:

\left[ {{K_{xx}}} \right]\left\{{{U_x}} \right\}+\left[ {{K_{xy}}} \right]{\left[ {{K_{yy}}} \right]^{-1}}\left( {\left\{{{R_y}} \right\}-\left[ {{K_{yx}}} \right]\left\{{{U_x}} \right\}} \right) = \left\{{{R_x}} \right\}

bzw.

\left[ {{K_C}} \right]\left\{{{U_x}} \right\} = \left\{{{R_C}} \right\}

mit den kondensierten Größen

\left[ {{K_C}} \right] = \left[ {{K_{xx}}} \right]-\left[ {{K_{xy}}} \right]{\left[ {{K_{yy}}} \right]^{-1}}\left[ {{K_{yx}}} \right]

\left\{{{R_C}} \right\} = \left\{{{R_x}} \right\}-\left[ {{K_{xy}}} \right]{\left[ {{K_{yy}}} \right]^{-1}}\left\{{{R_y}} \right\}

Das resultierende Gleichungssystem ist um die Zahl der Freiheitsgrade {U_y} kleiner als das ursprüngliche System.

5.3.2 Beispiel: Dreiknotenelement

quadratisch-drei-knoten-kragbalken-finite-stabelemente

Nun wollen wir den mittleren Knoten eliminieren:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{11}}}&{{k_{12}}}&{{k_{13}}} \\ {{k_{21}}}&{{k_{22}}}&{{k_{23}}} \\ {{k_{31}}}&{{k_{32}}}&{{k_{33}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{r_1}} \\ {{r_2}} \\ {{r_3}} \end{array}} \right\}\quad \quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)} \\ {\left( 2 \right)} \\ {\left( 3 \right)} \end{array}

\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \quad {k_{21}}{u_1}+{k_{22}}{u_2}+{k_{23}}{u_3} = {r_2}

\Rightarrow \quad {u_2} = \frac{1}{{{k_{22}}}}\left( {{r_2}-{k_{21}}{u_1}-{k_{23}}{u_3}} \right)

{k_{11}}{u_1}+{k_{12}}{u_2}+{k_{13}}{u_3} = {r_1}

\Rightarrow \quad {k_{11}}{u_1}+{k_{12}}\frac{1}{{{k_{22}}}}\left( {{r_2}-{k_{21}}{u_1}-{k_{23}}{u_3}} \right)+{k_{13}}{u_3} = {r_1}

\Rightarrow \quad \left( {{k_{11}}-\frac{{{k_{12}}{k_{21}}}}{{{k_{22}}}}} \right){u_1}+\left( {{k_{13}}-\frac{{{k_{12}}{k_{23}}}}{{{k_{22}}}}} \right){u_3} = {r_1}-\frac{{{k_{12}}}}{{{k_{22}}}}{r_2}

{k_{31}}{u_1}+{k_{32}}{u_2}+{k_{33}}{u_3} = {r_3}

\Rightarrow \quad {k_{31}}{u_1}+{k_{32}}\frac{1}{{{k_{22}}}}\left( {{r_2}-{k_{21}}{u_1}-{k_{23}}{u_3}} \right)+{k_{33}}{u_3} = {r_3}

\Rightarrow \quad \left( {{k_{31}}-\frac{{{k_{32}}{k_{21}}}}{{{k_{22}}}}} \right){u_1}+\left( {{k_{33}}-\frac{{{k_{32}}{k_{23}}}}{{{k_{22}}}}} \right){u_3} = {r_3}-\frac{{{k_{32}}}}{{{k_{22}}}}{r_2}

In Matrixschreibweise:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{11}}-\frac{{{k_{12}}{k_{21}}}}{{{k_{22}}}}}&{{k_{13}}-\frac{{{k_{12}}{k_{23}}}}{{{k_{22}}}}} \\ {{k_{31}}-\frac{{{k_{32}}{k_{21}}}}{{{k_{22}}}}}&{{k_{33}}-\frac{{{k_{32}}{k_{23}}}}{{{k_{22}}}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{r_1}-\frac{{{k_{12}}}}{{{k_{22}}}}{r_2}} \\ {{r_3}-\frac{{{k_{32}}}}{{{k_{22}}}}{r_2}} \end{array}} \right\}

Konkret ergibt sich für das quadratische Stabelement:

\frac{{EA}}{{3l}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{-8}&1 \\ {-8}&{16}&{-8} \\ 1&{-8}&7 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^*} \\ {F_2^*} \\ {F_3^*} \end{array}} \right\}

und reduziert:

\frac{{EA}}{{3l}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{-3} \\ {-3}&3 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^*+\frac{1}{2}F_2^*} \\ {F_3^*+\frac{1}{2}F_2^*} \end{array}} \right\}