2.4 – Steifigkeitsmatrix für Fachwerke in der Ebene

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Beispiel: Fachwerk mit drei Stäben, statisch unbestimmt

fachwer-drei-stabe-statisch-unbestimmt-finite-elemente-verschiebung

Gegeben: EA, l, {F_{2x}}, {F_{2y}}, {u_1} = {v_1} = {u_3} = {v_3} = 0

Gesucht: Auflager- und Stabkräfte, Verschiebungen {u_{2x}} und {u_{2y}}

Spaltenmatrizen der Kräfte und Verschiebungen:

{\left\{ F \right\}^T} = \left\{{{F_{1x}}\:\:{F_{1y}}\:\:{F_{2x}}\:\:{F_{2y}}\:\:{F_{3x}}\:\:{F_{3y}}} \right\}

{\left\{ \delta \right\}^T} = \left\{{{u_1}\:\:{v_1}\:\:{u_2}\:\:{v_2}\:\:{u_3}\:\:{v_3}} \right\} = :\left\{{{u_1}\:\:{u_2}\:\:{u_3}\:\:{u_4}\:\:{u_5}\:\:{u_6}} \right\}

Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Steifigkeitsmatrix \left[ {{k^3}} \right] von Stabelement 3 (vertikal):

finite-elemente-gesamtsteifigkeitsmatrix-aufbau-stab-3.png

grün (1), (3): globale Knotenpunkte

lila (1), (2): lokale Knotenpunkte

\alpha = \frac{\pi }{2}\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = 0,\quad \sin \alpha = 1

\left[ {{k^3}} \right] = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\cos }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha } \\ {\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\sin }^2}\alpha } \\ {-{{\cos }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\cos }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha } \\ {-\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\sin }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha } \end{array}} \right]

\quad = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&1&0&{-1} \\ 0&0&0&0 \\ 0&{-1}&0&1 \end{array}} \right]

Steifigkeitsmatrix \left[ {{k^1}} \right] von Stabelement 1 (horizontal):

finite-elemente-gesamtsteifigkeitsmatrix-aufbau-stab-1

\alpha = 0\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = 1,\quad \sin \alpha = 0

\left[ {{k^1}} \right] = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{-1}&0 \\ 0&0&0&0 \\ {-1}&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]

Steifigkeitsmatrix \left[ {{k^2}} \right] von Stabelement 2 (diagonal):

finite-elemente-gesamtsteifigkeitsmatrix-aufbau-stab-2

\alpha = \frac{3}{4}\pi ,\quad \cos \alpha = -\frac{{\sqrt 2 }}{2},\quad \sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

\left[ {{k^2}} \right] = \frac{{EA}}{{\sqrt 2 l}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}} \\ {-\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}} \\ {-\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right] = \frac{{\sqrt 2 EA}}{{4l}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1}&{-1}&1 \\ {-1}&1&1&{-1} \\ {-1}&1&1&{-1} \\ 1&{-1}&{-1}&1 \end{array}} \right]

Das Zusammensetzen der Gesamtsteifigkeitsmatrix erfolgt durch Auffüllen der Teilbeiträge mit Nullen. Dies kann bei größeren Systemen sehr aufwändig und unübersichtlich werden. Daher verwendet man dann ein alternatives Vorgehen mit einer Indextafel. Die Indextafel stellt die Verbindung zwischen lokalen und globalen Freiheitsgraden her. Bei einem einzelnen Stab handelt es sich um ein 2-Knoten Element mit jeweils zwei Freiheitsgraden pro Knoten. Es gibt also 4 lokale Freiheitsgrade pro Element, die wir bis jetzt mit u_1^*, v_1^*, u_2^* und v_2^* bezeichnet haben und für die Indextabelle nun u_1^* bis u_4^* nennen. Die globalen Freiheitsgrade werden fortlaufend nummeriert. Im Beispiel haben wir 6 globale Freiheitsgrade, die wir mit {u_1} bis {u_6} bezeichnen.

In der Indextafel werden dann für jedes Element die globalen Freiheitsgradnummern, die zu den jeweiligen lokalen Freiheitsgraden gehören, eingetragen. In unserem Beispiel sieht die Indextafel dann so aus:

\begin{array}{*{20}{c}}{Element\:Nr.}&\vline & {u_1^*}&\vline & {u_2^*}&\vline & {u_3^*}&\vline & {u_4^*} \\ \hline 1&\vline & 1&\vline & 2&\vline & 3&\vline & 4 \\ 2&\vline & 3&\vline & 4&\vline & 5&\vline & 6 \\ 3&\vline & 1&\vline & 2&\vline & 5&\vline & 6 \end{array}

Mit Hilfe dieser Tabelle lässt sich nun für jedes Element der Elementmatrizen die entsprechende Position in der Systemmatrix bestimmen. Der Einbau erfolgt dann einfach durch Addition auf die jeweilige Position.

Als Beispiel betrachten wir das Element (2,4) aus der Elementsteifigkeitsmatrix 2:

indextafel-erklarung-beispiel-finite-elemente

Daraus ergibt sich:

{K_{11}} = k_{11}^1+k_{11}^3,\quad {K_{12}} = k_{12}^1+k_{12}^3,

{K_{13}} = k_{13}^1,\quad {K_{14}} = k_{14}^1,

{K_{15}} = k_{13}^3,\quad {K_{16}} = k_{14}^3

und so weiter. In Matrixschreibweise:

\left[ K \right] = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{-1}&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&{-1} \\ {-1}&0&{1+\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ 0&0&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ 0&0&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ 0&{-1}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{1+\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 0} \\ {{v_1} = 0} \\ {{u_2}} \\ {{v_2}} \\ {{u_3} = 0} \\ {{v_3} = 0} \end{array}} \right\}

Einsetzen der Randbedingungen in den Zusammenhang \left\{ F \right\} = \left[ K \right]\left\{ \delta \right\}:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1+\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ {-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \end{array}} \right]}_{{K_{red}}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right\}

Wir berechnen nun Determinante und Inverse:

\det \left[ {{K_{red}}} \right] = \frac{{EA}}{l}\frac{{\sqrt 2 }}{4}

{\left[ {{K_{red}}} \right]^{-1}} = \frac{l}{{EA}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{1+2\sqrt 2 } \end{array}} \right]

Damit ergeben sich die Verschiebungen:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right\} = \frac{l}{{EA}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{1+2\sqrt 2 } \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \end{array}} \right\}

Die Reaktionskräfte ergeben sich ebenfalls aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}}} \\ {{F_{1y}}} \\ {{F_{3x}}} \\ {{F_{3y}}} \end{array}} \right\} = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&0 \\ 0&0 \\ {-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ {\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right\}

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&0 \\ 0&0 \\ {-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \\ {\frac{{\sqrt 2 }}{4}}&{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{1+2\sqrt 2 } \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \end{array}} \right\}

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&{-1} \\ 0&0 \\ 0&1 \\ 0&{-1} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-\left( {{F_{2x}}+{F_{2y}}} \right)} \\ 0 \\ {{F_{2y}}} \\ {-{F_{2y}}} \end{array}} \right\}

Die Stabkräfte ergeben wich wie folgt:

Allgemein gilt S = \frac{{EA}}{l}\left( {u_2^*-u_1^*} \right) und

u_1^* = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha } \end{array}} \right\}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{v_1}} \end{array}} \right\}

u_2^* = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha } \end{array}} \right\}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right\}

Daraus folgt allgemein:

S = \frac{{EA}}{l}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin a} \end{array}} \right\}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}-{u_1}} \\ {{v_2}-{v_1}} \end{array}} \right\}

Stab 1:

S = \frac{{EA}}{l}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right\}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right\} = \frac{{EA}}{l}{u_2} = {F_{2x}}+{F_{2y}}

Stab 2:

S = \frac{{EA}}{{\sqrt 2 l}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right\}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-{u_2}} \\ {-{v_2}} \end{array}} \right\} = -\sqrt 2 {F_{2y}}

Stab 3:

S = 0

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4 Kommentare zu “2.4 – Steifigkeitsmatrix für Fachwerke in der Ebene”

Hi,

könnten Sie mir erklären, was der Unterschied zwischen die “globalen” und “lokalen” Knotenpunkte? Warum steht es zum Beispiel, bei der Skizze vor der Aufstellung der Steifigkeitsmatrix der Stabelement 3, 3-2 oben und 1-1 unten? Wie kommt man auf die Zahlen? Es steht unten, dass 3-1 globale und 1-2 lokale Knotenpunkte sind. Wie unterscheide ich dazwischen? Und was bringt es, bei der Aufstellung der Matrix?

Danke im Voraus! Es wäre sehr hilfreich!

können sie mir erklären wie man die gesamtsteifigkeitmatrix erstellen, bei ke 33 ist gleich (1+1/sqrt2 ) das habe ich nicht verstanden.
bitte um erklaerung Danke

@Kbk: Um die Berechnung des Fachwerks zu vereinfachen wird das System mit den globalen Knotenpunkten (1, 2, 3) aus der ersten Skizze in Teilsysteme zerlegt. Diese bekommen dann jeweils zwei neue (lokale) Knotennummern (1, 2), die sich auf dieses Teilsystem beziehen. Mit diesen Nummern werden nun die Steifigkeitsmatrizen der Teilsysteme berechnet. Anschließend wird daraus, wie beschrieben, mit Hilfe der Indextafel, die Gesamtsteifigkeitsmatrix zusammengesetzt.

@ahmed: Um das Element K_{33} der Steifigkeitsmatrix zu bestimmen schauen wir uns in der Indextabelle die Einträge an, die eine 3 enthalten. Dort sehen wir, dass von Element 1 u^*_3 also k^1_{33} benötigt wird sowie von Element 2 u^*_1 also k^2_{11}. Somit gilt K_{33} = k^1_{33} + k^2_{11} = \frac{EA}{l} \left( 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right).

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