2.2 – Steifigkeitsmatrizen von Federn

2.2.1 Einzelfeder

einzelfeder-belastung-verschiebung-knoten-finite-elemente

Allgemein gilt:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{11}}}&{{k_{12}}} \\ {{k_{21}}}&{{k_{22}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\}$

Wir ermitteln nun die Matrixelemente.

a) Knoten 2 wird festgehalten

lineares-federelement-knoten-festhalten-superposition-1

Wir stellen das Kräftegleichgewicht auf und erhalten:

${F_{1a}}+{F_{2a}} = 0,\quad {F_{1a}} = k{u_1}$

${F_{2a}} = -{F_{1a}} = -k{u_1}$

b) Knoten 1 wird festgehalten

lineares-federelement-knoten-festhalten-superposition-2

Analog zu a) ergibt sich im Kräftegleichgewicht:

${F_{1b}}+{F_{2b}} = 0,\quad {F_{2b}} = k{u_2}$

${F_{2b}} = -{F_{1b}} = k{u_2}$

c) Superposition der Zustände a) und b)

Durch Überlagerung von a) und b) erhalten wir die Gleichungen:

${F_1} = {F_{1a}}+{F_{1b}} = k{u_1}-k{u_2}$

${F_2} = {F_{2a}}+{F_{2b}} = -k{u_1}+k{u_2}$

In Matrixschreibweise:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} k&{-k} \\ {-k}&k \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\}$

Die Steifigkeitsmatrix für das Federelement lautet also:

$\left[ k \right] = k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]$

Anmerkungen

Wesentliche Eigenschaft der Steifigkeitsmatrix ist die Symmetrie:

$\left[ k \right] = {\left[ k \right]^T}$ bzw. ${k_{ij}} = {k_{ji}}$

Die gesuchte Verschiebung kann allgemein über Inversion der Matrix berechnet werden:

$\left\{ \delta \right\} = {\left[ k \right]^{-1}}\left\{ F \right\} = \left[ H \right]\left\{ F \right\}$

Dabei wird $\left[ H \right]$ als Nachgiebigkeitsmatrix bezeichnet.

Im vorhergehenden Beispiel ist die Determinante der Steifigkeitsmatrix gleich 0. Die Matrix ist singulär und das lineare Gleichungssystem ist somit nicht eindeutig lösbar. Ursache sind die beliebigen Starrkörperbewegungen, nachfolgend ${u_0}$ genannt:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}\left( {{u_1}+{u_0},{u_2}+{u_0}} \right)} \\ {{F_2}\left( {{u_1}+{u_0},{u_2}+{u_0}} \right)} \end{array}} \right\} = k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\}+k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0}} \\ {{u_0}} \end{array}} \right\}$

$= k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]+k\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0}-{u_0}} \\ {-{u_0}+{u_0}} \end{array}} \right]}_{ = 0} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}\left( {{u_1},{u_2}} \right)} \\ {{F_2}\left( {{u_1},{u_2}} \right)} \end{array}} \right\}$

Die Kräfte sind also gleich, wenn man das gesamte System im Raum verschiebt.

durch Vorgabe von Randbedingungen (z.B. ${u_2} = 0$ ) wird die Starrkörperbewegung verhindert und eine Invertierung der Steifigkeitsmatrix möglich.

2.2.2 Zwei Federelemente in Reihe

Wir betrachten nun eine Reihenschaltung aus zwei Federelementen:

zwei-federn-finite-elemente-verschiebung-knotenpunkte-superposition-1

Drei Kräfte greifen an den Punkten 1, 2 und 3 an.

Allgemein gilt:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{11}}}&{{k_{12}}}&{{k_{13}}} \\ {{k_{21}}}&{{k_{22}}}&{{k_{23}}} \\ {{k_{31}}}&{{k_{32}}}&{{k_{33}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}$

Die Ermittlung der Elemente der Steifigkeitsmatrix $\left[ k \right]$ erfolgt wieder über Superposition.

a) Nur Knoten 1 bewegt sich

zwei-federn-finite-elemente-verschiebung-knotenpunkte-superposition-2

Das Kräftegleichgewicht ergibt:

${F_{1a}} = {k_a}{u_1},\quad {F_{2a}} = -{F_{1a}},\quad {F_{3a}} = 0$

b) Nur Knoten 2 bewegt sich

zwei-federn-finite-elemente-verschiebung-knotenpunkte-superposition-3

${F_{1b}} = -{k_a}{u_2},\quad {F_{2b}} = \left( {{k_a}+{k_b}} \right){u_2},\quad {F_{3b}} = -{k_b}{u_2}$

c) Nur Knoten 3 bewegt sich

zwei-federn-finite-elemente-verschiebung-knotenpunkte-superposition-4

${F_{1c}} = 0,\quad {F_{2c}} = -{F_{3c}} = -{k_b}{u_3},\quad {F_{3c}} = {k_b}{u_3}$

Superposition

Knoten 1: ${F_1} = {k_a}{u_1}-{k_a}{u_2}+0$

Knoten 2: ${F_2} = -{k_a}{u_1}+\left( {{k_a}+{k_b}} \right){u_2}-{k_b}{u_3}$

Knoten 3: ${F_3} = 0-{k_b}{u_2}+{k_b}{u_3}$

In Matrixschreibweise ergibt das:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}}&{-{k_a}}&0 \\ {-{k_a}}&{{k_a}+{k_b}}&{-{k_b}} \\ 0&{-{k_b}}&{{k_b}} \end{array}} \right]}_{\left[ K \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}$

Wie erwartet ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix symmetrisch, die Determinante ist 0, die Matrix ist also singulär. Dies lässt sich verhindern, wenn eine der Bewegungen auf 0 gesetzt wird, so dass sich das Gesamtsystem nicht mehr frei durch den Raum bewegen kann. Wir wählen z.B. ${u_1} = 0$ und geben uns äußere Belastungen ${F_2}$ und ${F_3}$ vor. Es folgt:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}}&{-{k_a}}&0 \\ {-{k_a}}&{{k_a}+{k_b}}&{-{k_b}} \\ 0&{-{k_b}}&{{k_b}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}$

Die Reaktionskraft ${F_1}$ erhalten wir nun als ${F_1} = -{k_a}{u_2}$ . Für die anderen beiden Gleichungen können wir ein neues, kleineres (reduziertes) Gleichungssystem aufstellen:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}+{k_b}}&{-{k_b}} \\ {-{k_b}}&{{k_b}} \end{array}} \right]}_{\left[ {{K_r}} \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}$

Um das System zu lösen, können wir nun die Matrix invertieren und auf die andere Seite bringen und anschließend die Zeilen einzeln auswerten.

$\quad \Rightarrow \quad \det \left[ {{K_r}} \right] = \left( {{k_a}+{k_b}} \right) \cdot {k_b}-\left( {-{k_b} \cdot \left( {-{k_b}} \right)} \right) = {k_a}{k_b}+k_b^2-k_b^2 = {k_a}{k_b}$

$\quad \Rightarrow \quad {\left[ {{K_r}} \right]^{-1}} = \frac{1}{{{k_a}{k_b}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_b}}&{{k_b}} \\ {{k_b}}&{{k_a}+{k_b}} \end{array}} \right]$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \frac{1}{{{k_a}{k_b}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_b}}&{{k_b}} \\ {{k_b}}&{{k_a}+{k_b}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad {u_2} = \frac{{{k_b}{F_2}+{k_b}{F_3}}}{{{k_a}{k_b}}} = \frac{1}{{{k_a}}}\left( {{F_2}+{F_3}} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad {u_3} = \frac{{{k_b}{F_2}+\left( {{k_a}+{k_b}} \right){F_3}}}{{{k_a}{k_b}}} = \frac{1}{{{k_a}}}{F_2}+\frac{{{k_a}+{k_b}}}{{{k_a}{k_b}}}{F_3}$

Damit ergibt sich für die Reaktionskraft:

${F_1} = -{k_a}{u_2} = -\frac{{{k_a}}}{{{k_a}}}\left( {{F_2}+{F_3}} \right) = -\left( {{F_2}+{F_3}} \right)$

Die inneren Beanspruchungen in den Elementen erhält man gemäß

${P_a} = {k_a}\left( {{u_2}-{u_1}} \right)\quad \Rightarrow \quad {P_a} = {F_2}+{F_3}$

${P_b} = {k_b}\left( {{u_4}-{u_3}} \right)\quad \Rightarrow \quad {P_b} = {F_3}$

2.2.3 Allgemeine Vorgehensweise bei der Matrix-Steifigkeitsmethode

Das Vorgehen besteht immer aus folgenden sechs Schritten:

Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen $\left[ k \right]$
Aufstellen der Gesamtsteifigkeitsmatrix $\left[ K \right]$
Einsetzen der Randbedingungen
Lösung des Gleichungssystems
Ermittlung der Reaktionskräfte
Ermittlung der inneren Elementkräfte

Wir wollen nun die Punkte 2, 3 und 4 detaillierter betrachten.

Bezeichnungen:

$\left\{{{F_a}} \right\}$ : von außen vorgegebene Kräfte

$\left\{{{F_r}} \right\}$ : Reaktionskräfte

$\left\{{{\delta _a}} \right\}$ : Verschiebungen an den Angriffspunkten der vorgegebenen Kräfte

$\left\{{{\delta _r}} \right\}$ : Durch geometrische Randbedingungen vorgegebene Verschiebungen

Das Gesamtgleichungssystem kann mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen strukturiert dargestellt werden:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{{{F_r}} \right\}} \\ {\left\{{{F_a}} \right\}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {{k_{rr}}} \right]}&{\left[ {{k_{ra}}} \right]} \\ {\left[ {{k_{ar}}} \right]}&{\left[ {{k_{aa}}} \right]} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{{{\delta _r}} \right\}} \\ {\left\{{{\delta _a}} \right\}} \end{array}} \right\}$

Oder in Form von zwei Gleichungen:

$\left\{{{F_r}} \right\} = \left[ {{k_{rr}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}+\left[ {{k_{ra}}} \right]\left\{{{\delta _a}} \right\}\quad \quad \quad \quad \left( * \right)$

$\left\{{{F_a}} \right\} = \left[ {{k_{ar}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}+\left[ {{k_{aa}}} \right]\left\{{{\delta _a}} \right\}\quad \quad \quad \quad \left( {**} \right)$

Dabei sind $\left[ {{k_{rr}}} \right]$ , $\left[ {{k_{ra}}} \right]$ , $\left[ {{k_{ar}}} \right]$ und $\left[ {{k_{aa}}} \right]$ Untermatrizen der Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Aus $\left( {**} \right)$ folgt:

$\quad \Rightarrow \quad {\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left\{{{F_a}} \right\} = {\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left[ {{k_{ar}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}+\left\{{{\delta _a}} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{{\delta _a}} \right\} = {\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left( {\left\{{{F_a}} \right\}-\left[ {{k_{ar}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}} \right)$

Die unbekannten Knotenverschiebungen $\left\{{{\delta _a}} \right\}$ hängen von den äußeren Lasten $\left\{{{F_a}} \right\}$ sowie den geometrischen Randbedingungen $\left\{{{\delta _r}} \right\}$ ab.

Setzt man dieses Ergebnis in $\left( * \right)$ ein, so ergibt sich für die Reaktionskräfte:

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{{F_r}} \right\} = \left[ {{k_{rr}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}+\left[ {{k_{ra}}} \right]{\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left( {\left\{{{F_a}} \right\}-\left[ {{k_{ar}}} \right]\left\{{{\delta _r}} \right\}} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{{F_r}} \right\} = \left[ {{k_{ra}}} \right]{\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left\{{{F_a}} \right\}+\left( {\left[ {{k_{rr}}} \right]-\left[ {{k_{ra}}} \right]{{\left[ {{k_{aa}}} \right]}^{-1}}\left[ {{k_{ar}}} \right]} \right)\left\{{{\delta _r}} \right\}$

Im Fall von $\left\{{{\delta _r}} \right\} = \left\{ 0 \right\}$ ergibt sich:

$\left\{{{\delta _a}} \right\} = {\left[ {{k_{aa}}} \right]^{-1}}\left\{{{F_a}} \right\}$

$\left\{{{F_r}} \right\} = \left[ {{k_{ra}}} \right]\left[ {{k_{aa}}} \right]\left\{{{F_a}} \right\}$

Anmerkungen

Die Lösung größerer Gleichungssysteme kann z.B. mit Gauß-, Gauß-Jordan-, Cholesky- oder Gauß-Seidel-Verfahren erfolgen. Die bei Finite Elemente Berechnungen (Strukturmechanik) vorkommenden Steifigkeitsmatrizen sind schwach besetzt (d.h. viele Nullen). Bei geeigneter Elementnummerierung (bzw. Knotennummerierung) ergibt sich daher eine Bandstruktur der Steifigkeitsmatrix:

$\left[ K \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} *&*&0&0&0&0 \\ {*}&*&*&0&0&0 \\ 0&*&*&*&0&0 \\ 0&0&*&*&*&0 \\ 0&0&0&*&*&* \\ 0&0&0&0&*&* \end{array}} \right]$

Diese Matrizen lassen sich besonders effizient mit dem Cholesky-Verfahren lösen.

Beispiel

drei-federn-finite-elemente-verschiebung-knotenpunkte-superposition

Hier handelt es sich um eine Reihenschaltung aus drei Federn. Das Gesamtsystem wird in drei Elemente mit vier Knoten aufgeteilt. Die Kräfte ${F_2}$ und ${F_3}$ wirken von außen auf das System, ${F_1}$ und ${F_4}$ sind Reaktionskräfte.

Gesucht: ${u_2},{u_3},{F_1},{F_4}$

Steifigkeitsmatrizen der Elemente:

Element 1: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}}&{-{k_a}} \\ {-{k_a}}&{{k_a}} \end{array}} \right]$

Element 2: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_b}}&{-{k_b}} \\ {-{k_b}}&{{k_b}} \end{array}} \right]$

Element 3: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_c}}&{-{k_c}} \\ {-{k_c}}&{{k_c}} \end{array}} \right]$

Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \\ {{F_3}} \\ {{F_4}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}}&{-{k_a}}&0&0 \\ {-{k_a}}&{{k_a}}&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \\ {{u_4}} \end{array}} \right\}+$

$+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&{{k_b}}&{-{k_b}}&0 \\ 0&{-{k_b}}&{{k_b}}&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \\ {{u_4}} \end{array}} \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&{{k_c}}&{-{k_c}} \\ 0&0&{-{k_c}}&{{k_c}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \\ {{u_4}} \end{array}} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \\ {{F_3}} \\ {{F_4}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}}&{-{k_a}}&0&0 \\ {-{k_a}}&{{k_a}+{k_b}}&{-{k_b}}&0 \\ 0&{-{k_b}}&{{k_b}+{k_c}}&{-{k_c}} \\ 0&0&{-{k_c}}&{{k_c}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \\ {{u_4}} \end{array}} \right\}$

Die Matrix ist singulär und nicht invertierbar. Wir betrachten nun die Randbedingungen

${u_1} = {u_4} = 0$

Damit erhalten wir:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_2}} \\ {{F_3}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_a}+{k_b}}&{-{k_b}} \\ {-{k_b}}&{{k_b}+{k_c}} \end{array}} \right]}_{\left[ {{K_r}} \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}$

$\det \left[ {{K_r}} \right] = {k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}$

${\left[ {{K_r}} \right]^{-1}} = \frac{1}{{{k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_b}+{k_c}}&{{k_b}} \\ {{k_b}}&{{k_a}+{k_b}} \end{array}} \right]$

$\quad \Rightarrow \quad {u_2} = \frac{{{k_b}+{k_c}}}{{{k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}}}{F_2}+\frac{{{k_b}}}{{{k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}}}{F_3}$

$\quad \Rightarrow \quad {u_3} = \frac{{{k_b}}}{{{k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}}}{F_2}+\frac{{{k_a}+{k_b}}}{{{k_a}{k_b}+{k_a}{k_c}+{k_b}{k_c}}}{F_3}$

$\quad \Rightarrow \quad {F_1} = -{k_a}{u_2},\quad \quad {F_4} = -{k_c}{u_3}$

Mathematical Engineering

2.2 – Steifigkeitsmatrizen von Federn

2.2.1 Einzelfeder

a) Knoten 2 wird festgehalten

b) Knoten 1 wird festgehalten

c) Superposition der Zustände a) und b)

Anmerkungen

2.2.2 Zwei Federelemente in Reihe

a) Nur Knoten 1 bewegt sich

b) Nur Knoten 2 bewegt sich

c) Nur Knoten 3 bewegt sich

Superposition

2.2.3 Allgemeine Vorgehensweise bei der Matrix-Steifigkeitsmethode

Anmerkungen

Beispiel

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