2.5 – Steifigkeitsmatrizen für Balken

 

Wir betrachten nun einen Balken. Im Gegensatz zu einem Stab kann sich ein Balken verbiegen und Momente aufnehmen, Kräfte und Momente können nicht nur an den Enden, sondern auch als Einzelkräfte oder Belastungsverläufe an beliebigen Stellen angreifen. Um dies zu berücksichtigen, führen wir einen neuen Freiheitsgrad \varphi für die Verdrehung ein:

finite-elemente-balken-verdrehung-steifigkeitsmatrix

Die Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen Koordinatensystem lässt sich in vier Bereiche unterteilen:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_1^*} \\ {Q_1^*} \\ {M_1^*} \\ {N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&\vline & {}&{}&{} \\ {}&{\left[ {k_{11}^{e*}} \right]}&{}&\vline & {}&{\left[ {k_{12}^{e*}} \right]}&{} \\ {}&{}&{}&\vline & {}&{}&{} \\ \hline{}&{}&{}&\vline & {}&{}&{} \\ {}&{\left[ {k_{21}^{e*}} \right]}&{}&\vline & {}&{\left[ {k_{22}^{e*}} \right]}&{} \\ {}&{}&{}&\vline & {}&{}&{} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_1^*} \\ {v_1^*} \\ {\varphi _1^*} \\ {u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left\{{{F^*}} \right\} = \left[ {{k^{e*}}} \right]\left\{{{\delta ^*}} \right\}

Aus der klassischen Mechanik kennen wir verschiedene Belastungstypen, aus denen unterschiedliche Durchbiegungen, Verdrehungen und Verschiebungen resultieren. Hier eine Übersicht:

beanspruchung-biegung-verschiebung-verdrehung-balken-tabelle

Die Beanspruchungsarten können sowohl links als auch rechts auftreten. Wir gehen wie bei der Feder vor und gehen in Schritt a) davon aus, dass der Balken links fest eingespannt ist. In b) betrachten wir einen rechts fest eingespannten Balken und in c) überlagern wir die beiden Beanspruchungen, um die Gesamtsteifigkeitsmatrix zu erhalten.

a) Linkes Ende ist fest eingespannt

u_1^* = v_1^* = \varphi _1^* = 0

\quad \Rightarrow \quad u_2^* = \frac{l}{{EA}}N_2^*

\quad \Rightarrow \quad v_2^* = \frac{{{l^3}}}{{3EI}}Q_2^*+\frac{{{l^2}}}{{2EI}}M_2^*

\quad \Rightarrow \quad \varphi _2^* = \frac{{{l^2}}}{{2EI}}Q_2^*+\frac{l}{{EI}}M_2^*

\quad \Rightarrow \quad N_1^* = -N_2^*

\quad \Rightarrow \quad M_1^*+M_2^*+Q_2^*l = 0\quad \Rightarrow \quad M_1^* = -M_2^*-Q_2^*l

\quad \Rightarrow \quad Q_1^* = -Q_2^*

Es ergibt sich in Matrixschreibweise die Inverse eines Teils der Elementsteifigkeitsmatrix: \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{l}{{EA}}}&0&0 \\ 0&{\frac{{{l^3}}}{{3EI}}}&{\frac{{{l^2}}}{{2EI}}} \\ 0&{\frac{{{l^2}}}{{2EI}}}&{\frac{l}{{EI}}} \end{array}} \right]}_{{{\left[ {k_{22}^{e*}} \right]}^{-1}}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\}

Determinante und Inverse (der Inversen):

\det {\left[ {k_{22}^{e*}} \right]^{-1}} = \frac{l}{{EA}}\left( {\frac{{{l^4}}}{{3{{\left( {EI} \right)}^2}}}-\frac{{{l^4}}}{{4{{\left( {EI} \right)}^2}}}} \right) = \frac{1}{{12}}\frac{{{l^5}}}{{\left( {EA} \right){{\left( {EI} \right)}^2}}}

\left[ {k_{22}^{e*}} \right] = 12\frac{1}{{{l^5}}}\left( {EA} \right){\left( {EI} \right)^2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{12}}\frac{{{l^4}}}{{{{\left( {EI} \right)}^2}}}}&0&0 \\ 0&{\frac{{{l^2}}}{{\left( {EA} \right)\left( {EI} \right)}}}&{-\frac{{{l^3}}}{{2\left( {EA} \right)\left( {EI} \right)}}} \\ 0&{-\frac{{{l^3}}}{{2\left( {EA} \right)\left( {EI} \right)}}}&{\frac{{{l^4}}}{{3\left( {EA} \right)\left( {EI} \right)}}} \end{array}} \right]

\quad = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]

\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\}

Weiterhin gilt für die Lagerkräfte (Reaktionskräfte) das Kräftegleichgewicht:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_1^*} \\ {Q_1^*} \\ {M_1^*} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&0&0 \\ 0&{-1}&0 \\ 0&{-l}&{-1} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\}

Einsetzen der zuvor aufgestellten Beziehung:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_1^*} \\ {Q_1^*} \\ {M_1^*} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&0&0 \\ 0&{-1}&0 \\ 0&{-l}&{-1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\}

=\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{-12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{2\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]}_{k_{12}^{e*}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\}

b) Rechtes Ende ist fest eingespannt

u_2^* = v_2^* = \varphi _2^* = 0

Es ergibt sich analog zu den Betrachtungen in a):

\left[ {k_{21}^{e*}} \right] = {\left[ {k_{12}^{e*}} \right]^T}

und der letzte Teil der Elementsteifigkeitsmatrix:

\left[ {k_{11}^{e*}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]

c) Gesamtsteifigkeitsmatrix

Mit a) und b) nimmt die Steifigkeitsmatrix des Balkens im lokalen System die folgende Form an:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_1^*} \\ {Q_1^*} \\ {M_1^*} \\ \hline{N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{EA}}{l}}&0&0&\vline & {-\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&\vline & 0&{-12\frac{{EI}}{{{l^3}}}}&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}}&\vline & 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{2\frac{{EI}}{l}} \\ \hline{-\frac{{EA}}{l}}&0&0&\vline & {\frac{{EA}}{l}}&0&0 \\ 0&{-12\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&\vline & 0&{12\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}} \\ 0&{6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{2\frac{{EI}}{l}}&\vline & 0&{-6\frac{{EI}}{{{l^2}}}}&{4\frac{{EI}}{l}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_1^*} \\ {v_1^*} \\ {\varphi _1^*} \\ \hline{u_2^*} \\ {v_2^*} \\ {\varphi _2^*} \end{array}} \right\}

\quad \Leftrightarrow \quad \left\{{{F^*}} \right\} = \left[ {{k^*}} \right]\left\{{{\delta ^*}} \right\}

Bisher haben wir nur die Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen Koordinatensystem bestimmt. Um die entsprechende Matrix im globalen Koordinatensystem zu erhalten, müssen wir eine Transformation durchführen.

Aufstellen der Transformationsmatrix

balken-transformationsmatrix-lokal-gobal-koordinaten-system-finite-elemente

Es gilt:

{F_{1x}} = \cos \alpha N_1^*-\sin \alpha Q_1^*

{F_{2x}} = \cos \alpha N_2^*-\sin \alpha Q_2^*

{F_{1y}} = \sin \alpha N_1^*+\cos \alpha Q_1^*

{F_{2y}} = \sin \alpha N_2^*+\cos \alpha Q_2^*

{M_1} = M_1^*

{M_2} = M_2^*

Dies ist äquivalent zu:

N_1^* = \cos \alpha {F_{1x}}+\sin \alpha {F_{1y}}

N_2^* = \cos \alpha {F_{2x}}+\sin \alpha {F_{2y}}

Q_1^* = -\sin \alpha {F_{1x}}+\cos \alpha {F_{1y}}

Q_2^* = -\sin \alpha {F_{2x}}+\cos \alpha {F_{2y}}

M_1^* = {M_1}

M_2^* = {M_2}

Es folgt:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{N_1^*} \\ {Q_1^*} \\ {M_1^*} \\ \hline{N_2^*} \\ {Q_2^*} \\ {M_2^*} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0&\vline & 0&0&0 \\ {-\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0&\vline & 0&0&0 \\ 0&0&1&\vline & 0&0&0 \\ \hline 0&0&0&\vline & {\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0 \\ 0&0&0&\vline & {-\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0 \\ 0&0&0&\vline & 0&0&1 \end{array}} \right]}_{\left[ Q \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}}} \\ {{F_{1y}}} \\ {{M_1}} \\ \hline{{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \\ {{M_2}} \end{array}} \right\}

\quad \Leftrightarrow \quad \left\{{{F^*}} \right\} = \left[ Q \right]\left\{ F \right\}

Analog gilt für die Verschiebungen:

\left\{{{\delta ^*}} \right\} = \left[ Q \right]\left\{ \delta \right\}

Daraus folgt:

\left\{{{F^*}} \right\} = \left[ Q \right]\left\{ F \right\} = \left[ {{k^*}} \right]\left\{{{\delta ^*}} \right\} = \left[ {{k^*}} \right]\left[ Q \right]\left\{ \delta \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left\{ F \right\} = \underbrace {{{\left[ Q \right]}^T}\left[ {{k^*}} \right]\left[ Q \right]}_{\left[ k \right]}\left\{ \delta \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left[ k \right] = {\left[ Q \right]^T}\left[ {{k^*}} \right]\left[ Q \right]