2.3 – Steifigkeitsmatrizen für Stabelemente in der Ebene

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Wir betrachten nun Stabelemente in der Ebene. Ein Stab zeichnet sich dadurch aus, dass Kräfte nur an seinen Enden angreifen können. Ein Stab kann sich nicht verbiegen, sondern nur dehnen oder gestaucht werden:

stabelement-aufbau-knoten-verbindung-kraft-verschiebung

Um mit Stäben einfacher rechnen zu können, führen wir ein lokales Koordinatensystem ein:

lokales-koordinatensystem-drehung-stab

{x^*},{y^*}: lokales Koordinatensystem des Stabes

x,y: globales Koordinatensystem

\alpha: Winkel zwischen den Koordinatensystemen

Elementsteifigkeitsmatrix eines einzelnen Stabes

DGL des Stabes:

{N^\prime }\left( x \right) = 0\quad \Rightarrow \quad N\left( x \right) = {N_0}

Materialgleichung:

N\left( x \right) = EA{u^\prime }\left( x \right) = EA\varepsilon \left( x \right)

\quad \Rightarrow \quad {N_0} = EA\varepsilon = EA\frac{{\Delta u}}{l} = \underbrace {\frac{{EA}}{l}}_{{k^*}}\Delta u

Bedeutung der Variablen:

{k^*}: Steifigkeit des Stabes (analog zur Feder), Einheit: Kraft / Länge

E: Elastizitätsmodul

l: Stab- bzw. Elementlänge

A: Querschnittsfläche

Kinematik: \varepsilon = {u^\prime }

Analog zum Federelement können wir in Matrixdarstellung schreiben:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}} \\ {{F_2}} \end{array}} \right\} = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\}

Problem: In Fachwerken haben die Stäbe unterschiedliche Orientierungen, d.h. die lokalen Koordinatensysteme unterscheiden sich.

Lösung: Transformation auf ein globales Koordinatensystem (x, y Koordinatensystem).

Da jeder Knotenpunkt in der Ebene zwei Freiheitsgrade und zwei Kraftkomponenten besitzt, gilt für die Steifigkeitsmatrix im lokalen System:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_{1x}^*} \\ {F_{1y}^*} \\ {F_{2x}^*} \\ {F_{2y}^*} \end{array}} \right\} = \frac{{EA}}{l}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{-1}&0 \\ 0&0&0&0 \\ {-1}&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]}_{\left[ {{k^{e*}}} \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u_1^*} \\ {v_1^*} \\ {u_2^*} \\ {v_2^*} \end{array}} \right\}

Umrechnung der Kraftkomponenten vom lokalen in das globale Koordinatensystem

umrechnung-lokale-globale-koordinaten-kraft-komponenten

F_{1x}^* = {F_{1x}}\cos \alpha +{F_{1y}}\sin \alpha

F_{1y}^* = -{F_{1x}}\sin \alpha +{F_{1y}}\cos \alpha

Die Beziehungen für F_{2x}^* und F_{2y}^* lauten analog.

In Matrixschreibweise erhalten wir damit:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_{1x}^*} \\ {F_{1y}^*} \\ {F_{2x}^*} \\ {F_{2y}^*} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0&0 \\ {-\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0&0 \\ 0&0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\ 0&0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha } \end{array}} \right]}_{\left[ Q \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}}} \\ {{F_{1y}}} \\ {{F_{2x}}} \\ {{F_{2y}}} \end{array}} \right\}

Das Gleichungssystem lautet in Kurzform:

\left\{{{F^*}} \right\} = \left[ Q \right]\left\{ F \right\}

Analog gilt: \left\{{{\delta ^*}} \right\} = \left[ Q \right]\left\{ \delta \right\}

\left[ Q \right] ist eine orthogonale Matrix, d.h.

{\left[ Q \right]^T} = {\left[ Q \right]^{-1}}\quad \Rightarrow \quad {\left[ Q \right]^T}\left[ Q \right] = \left[ Q \right]{\left[ Q \right]^T} = \left[ I \right].

Berechnung der Steifigkeitsmatrix im globalen System

lokal gilt:

\left\{{{F^*}} \right\} = \left[ {{k^{e*}}} \right]\left\{{{\delta ^*}} \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left[ Q \right]\left\{ F \right\} = \left[ {{k^{e*}}} \right]\left[ Q \right]\left\{ \delta \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left\{ F \right\} = \underbrace {{{\left[ Q \right]}^T}\left[ {{k^{e*}}} \right]\left[ Q \right]}_{\left[ {{k^e}} \right]}\left\{ \delta \right\} = \left[ {{k^e}} \right]\left\{ \delta \right\}

Damit gilt

\left[ {{k^e}} \right] = {\left[ Q \right]^T}\left[ {{k^{e*}}} \right]\left[ Q \right]

für die Steifigkeitsmatrix des Stabes im globalen Koordinatensystem. Es ergibt sich mit der zuvor aufgestellten Steifigkeitsmatrix im lokalen System:

\left[ {{k^e}} \right] = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\cos }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha } \\ {\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\sin }^2}\alpha } \\ {-{{\cos }^2}\alpha }&{-\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\cos }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha } \\ {-\cos \alpha \sin \alpha }&{-{{\sin }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha } \end{array}} \right]

Auch diese Steifigkeitsmatrix ist singulär, d.h. ihre Determinante ist null. Dies erkennt man z.B. daran, dass die erste und die dritte Zeile linear voneinander abhängig sind.