6 – Stofftransport

 

Wir betrachten binäre Diffusion von Stoffen A und B aufgrund von Konzentrationsgradienten. Beispiele:

wst-6-01-stofftransport-beispiele-binar

Kombination von Wärmeübergang und Stoffübergang: Filmverdampfung

wst-6-02-filmverdampfung

6.1 Diffusionsgleichung

6.1.1 Zustandsgrößen

Extensive Zustandsgrößen

Masse: m

Volumen: V

Molzahl: N

Intensive Zustandsgrößen

Dichte: \rho = \frac{m}{V}

Moldichte: n = \frac{N}{V}

Partialgrößen

Partial-Masse: {m_i} \Rightarrow \quad \sum\limits_i {{m_i}} = m

Partial-Dichten: {\rho _i} = \frac{{{m_i}}}{V}\quad \Rightarrow \quad \sum\limits_i {{\rho _i}} = \frac{{\sum\limits_i {{m_i}} }}{V} = \frac{m}{V} = \rho

Partial-Molzahl: {N_i}\quad \Rightarrow \quad \sum\limits_i {{N_i}} = N

Partial-Moldichte: {n_i} = \frac{{{N_i}}}{V},\quad \sum\limits_i {{n_i}} = n

Massenbrüche: {y_i} = \frac{{{\rho _i}}}{\rho } = \frac{{\frac{{{m_i}}}{V}}}{{\frac{m}{V}}} = \frac{{{m_i}}}{m}

Molbrüche: {x_i} = \frac{{{n_i}}}{n} = \frac{{\frac{{{N_i}}}{V}}}{{\frac{N}{V}}} = \frac{{{N_i}}}{N}

Ideales Gasgesetz: p = \rho RT,\quad R = \frac{{{R_m}}}{M}

Partialdrücke: {p_i} = {\rho _i}{R_i}T,\quad {R_i} = \frac{{{R_m}}}{{{M_i}}}

Es gilt für jedes Gas:

p = \sum\limits_i {{p_i}}

M = \sum\limits_i {{x_i}{M_i}}

R = \sum\limits_i {{y_i}{R_i}}

Die Gasgleichung kann man auch molar schreiben als:

p = n{R_m}T

{p_i} = {n_i}{R_m}T

\sum\limits_i {{p_i}} = \sum\limits_i {{n_i}} {R_m}T = n{R_m}T

6.1.2 Erhaltungsgleichung für die einzelnen Komponenten

Wir betrachten die binäre Diffusion von Stoff 1 und 2:

wst-6-03-binare-diffusion-differentialgleichung

Mittlere Geschwindigkeit:

\rho \vec v = \sum\limits_m {{\rho _m}{{\vec v}_m}}

\vec v = \sum\limits_m {\frac{{{\rho _m}}}{\rho }{{\vec v}_m}} = \sum\limits_m {{y_m}{{\vec v}_m}}

{v_i} = \sum\limits_m {{y_m}{v_{m,i}}} \quad ;\quad i = 1,2,3\quad ;\quad x,y,z

Dabei ist \vec v die Geschwindigkeit Komponenten-Mischung. Der Index m steht für die Komponente.

(Massen-) Stoffstrom relativ zur mittleren Bewegung:

{{\vec j}_m} = {\rho _m}\left( {{{\vec v}_m}-\vec v} \right)

{j_{m,i}} = {\rho _m}\left( {{v_{m,i}}-{v_i}} \right)

\sum\limits_m {{{\vec j}_m}} = \sum\limits_m {\left( {{\rho _m}{{\vec v}_m}} \right)} -\sum\limits_m {{\rho _m}\vec v} = \rho \vec v-\rho \vec v = 0

Erhaltungsgleichung für die Masse der Komponente m:

\frac{{\partial {\rho _m}}}{{\partial t}}+\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{\rho _m}{v_{m,i}}} \right) = {\omega _m}\qquad \left( * \right)

In Kurzschreibweise:

{\partial _t}{\rho _m}+{\partial _i}\left( {{\rho _m}{v_{m,i}}} \right) = {\omega _m}

{\omega _m} \ne 0: chem. Reaktion

{\omega _m}: Quelle/Senke für Komponente m

Jetzt muss sichergestellt werden, dass die Massenerhaltung auch bei chemischen Reaktionen nicht verletzt wird. Wir wollen also die Kontinuitätsgleichung nicht verlieren. Wir können zunächst in (*) über alle Spezies m summieren:

\sum\limits_m {\left( * \right)} :\quad \frac{{\partial \sum\limits_m {{\rho _m}} }}{{\partial t}}+\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\underbrace {\left( {\sum\limits_m {{\rho _m}{v_{m,i}}} } \right)}_{\rho {v_i}} = \sum\limits_m {{\omega _m}}

{\partial _t}\rho +{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right) = 0 = \sum\limits_m {{\omega _m}}

Umschreiben in eine Gleichung für die Massenbrüche:

{\rho _m}{v_{m,i}} = {j_{m,i}}+{\rho _m}{v_i} in (*): {\partial _t}{\rho _m}+{\partial _i}{j_{m,i}}+{\partial _i}\left( {{\rho _m}{v_i}} \right) = {\omega _m}\quad ;\quad {y_m} = \frac{{{\rho _m}}}{\rho }\quad \Leftrightarrow \quad {\rho _m} = \rho {{\text{y}}_m}

\Rightarrow \quad {\partial _t}\left( {\rho {y_m}} \right)+{\partial _i}\left( {\rho {y_m}{v_i}} \right)+{\partial _i}{j_{m,i}} = {\omega _m}

Damit folgt dann die Bewegungsgleichung für den Massenbruch {y_m}:

\rho {D_t}{y_m}+{\partial _i}{j_{m,i}} = {\omega _m}

{j_{m,i}}: Strom {y_m} im mit \vec v bewegten System

6.1.3 Konstituierende Gleichung für reine Diffusion

Wir nehmen an:

\vec v = 0,\quad {v_i} = 0

binäres System:

\rho = {\rho _1}+{\rho _2},\quad 1 = {y_1}+{y_2}

Fick’sches Gesetz (Massendiffusion):

{j_{1,i}} = -\rho {D_{12}}\frac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_i}}},\quad {{\vec j}_1} = -\rho {D_{12}}\vec \nabla {y_1}

{j_{2,i}} = -\rho {D_{21}}\frac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_i}}},\quad {{\vec j}_2} = -\rho {D_{21}}\vec \nabla {y_2}

Der binäre Diffusionskoeffizient D hat zwei Indizes, weil die Diffusion von Stoff 1 in Stoff 2 nicht unbedingt genau so gut abläuft wie die Diffusion von Stoff 2 in Stoff 1.

Es gilt:

\sum\limits_m {{{\vec j}_m}} = 0\quad ;\quad {{\vec j}_1}+{{\vec j}_2} = -\rho \left( {{D_{12}}\vec \nabla {y_1}+{D_{21}}\vec \nabla {y_2}} \right)

1 = {y_1}+{y_2}\quad ;\quad \frac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_i}}}+\frac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_i}}} = 0\quad ;\quad \vec \nabla {y_1}+\vec \nabla {y_2} = 0

0 = {D_{12}}\vec \nabla {y_1}+{D_{21}}\vec \nabla {y_2}

\Rightarrow \quad {D_{12}} = {D_{21}} \equiv D

6.1.4 Transportgleichung für ruhendes binäres Gemisch

Für ein binäres Gemisch gilt:

\rho {D_1}{y_m} = -{\partial _i}{j_{m,i}}+{\omega _m} = -{\partial _i}\left( {-\rho D{\partial _i}{y_m}} \right)+{\omega _m}

Für {v_i} = 0 gilt {D_t} \to {\partial _t}.

Unter der Annahme \rho = \operatorname{const} erhalten wir:

{\partial _t}{y_m} = {\partial _i}\left( {D{\partial _i}{y_m}} \right)+\frac{{{\omega _m}}}{\rho }

Dies ist die Diffusionsgleichung für ein ruhendes binäres Gemisch.

Analogie zur Wärmeleitung:

\rho {c_p}{\partial _T} = {\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+{q^*},\quad \rho {c_p} = \operatorname{const}

\alpha = \frac{k}{{\rho {c_p}}},\quad \Theta = \frac{{T-{T_0}}}{{{T_1}}}

{\partial _t}\Theta = {\partial _i}\left( {\alpha {\partial _i}\Theta } \right)+{q^+},\quad {q^+} = \frac{{{q^*}}}{{\rho {c_p}{T_1}}}

Analogie:

\Theta \quad \leftrightarrow \quad {y_m}

\alpha \quad \leftrightarrow \quad D

\frac{{{q^*}}}{{{c_p}{T_1}}}\quad \leftrightarrow \quad {\omega _m}

Anfangsbedingung:

{y_m}\left( {{x_i},t = 0} \right) = y_m^0\left( {{x_i}} \right)

Wie auch bei der Wärmeleitung gibt es drei Arten von Randbedingungen.

Randbedingung 1. Art: {y_m}\left( {\partial \Omega ,t} \right)\mathop = \limits^! {y_{m,\partial \Omega }}\left( {\partial \Omega ,t} \right)

Randbedingung 2. Art: -\rho D{\left( {\vec \nabla {y_m} \cdot \vec n} \right)_{\partial \Omega }}\mathop = \limits^! {\vec j_{m,\partial \Omega }} \cdot \vec n bzw. {\left. {\frac{{\partial {y_m}}}{{\partial \vec n}}} \right|_{\partial \Omega }}\mathop = \limits^! d{y_{m,\partial \Omega }}

Randbedingung 3. Art: {j_{m,\partial \Omega }} = \rho {h_m}\left( {{y_{m,\partial \Omega }}-{y_{m,\infty }}} \right) = {h_m}\left( {{\rho _{m,\partial \Omega }}-{\rho _{m,\infty }}} \right)

{h_m}: Konvektiver Stoffübergangs-Koeffizient für die Komponente m

Für eine impermeable Oberfläche gilt:

\frac{{\partial {y_m}}}{{\partial \vec n}}\mathop = \limits^! 0

6.1.5 Ähnlichkeitsgrößen

\alpha = \frac{k}{{\rho {c_p}}}: Thermische Leitfähigkeit \left[ {\frac{{{m^2}}}{s}} \right]

\nu = \frac{\mu }{\rho }: Kinematische Viskosität \left[ {\frac{{{m^2}}}{s}} \right]

D: Diffusionskonstante \left[ {\frac{{{m^2}}}{s}} \right]

\Pr = \frac{\nu }{\alpha }: Prandtl-Zahl

\operatorname{Sc} = \frac{\nu }{D}: Schmidt-Zahl

\operatorname{Le} = \frac{\alpha }{D}: Lewis-Zahl (Wie gut Funktioniert die Wärmeleitfähigkeit im Vergleich zur Diffusion)

Analog zur kinetischen Gastheorie können wir auch bei der Diffusion wieder harte Kugeln annehmen.
\bar u = \sqrt {\frac{{8{k_B}T}}{{\pi m}}}

z = \frac{1}{4}n\bar u

\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi {d^2}n}}\quad ;\quad a \sim \frac{2}{3}\lambda

D \sim \frac{1}{3}\bar u\lambda

Genauer:

D \sim 1,3\;\nu

\Rightarrow \quad Sc = \frac{\nu }{D} \sim \frac{1}{{1,3}}

6.2 Stofftransport in molarer Form

6.2.1 Herleitung der Gleichungen

Wir können eine mittlere molare Geschwindigkeit definieren:

{\vec v^*} \equiv \sum\limits_m {{x_m}{{\vec v}_m}} \quad ;\quad v_i^* = \sum\limits_m {{x_m}{v_{m,i}}}

(Nun nicht auf den Massenstrom, sondern auf den Teilchen- bzw. Molstrom bezogen)

Molarer Stoffstrom:

\vec j_m^* = {n_m}\left( {{{\vec v}_m}-{{\vec v}^*}} \right)

Wir können eine Transportgleichung ableiten:

n{D_t}{x_m}+{\partial _i}j_{m,i}^* = \omega _m^*

Ruhendes Medium (reine Diffusion):

j_{m,i}^* = -nD{\partial _i}{x_m}

Für n = \operatorname{const} ,\quad {\vec v^*} = 0:

{\partial _t}{x_m} = {\partial _i}\left( {D{\partial _i}{x_m}} \right)+\frac{{{\omega ^*}}}{n}

Dies ist die Diffusionsgleichung mit molaren Größen.

Erhaltung Einzelkomponente:

{\partial _t}{\rho _m}+{\partial _i}\left( {{\rho _m}{v_{m,i}}} \right) = {\omega _m},\quad i = 1,2,3

{y_m} = \frac{{{\rho _m}}}{\rho }

{x_m} = \frac{{{n_m}}}{n}

\sum\limits_m {{\rho _m}} = \rho ,\quad \quad \sum\limits_m {{n_m}} = n

Ideals Gasgemische:

{p_i} = {\rho _i}{R_i}T,\quad {R_i} = \frac{{{R_m}}}{{{M_i}}}

p = \sum\limits_i {{p_i}}

{p_i} = {n_i}{R_m}T

{{\vec j}_m} = {\rho _m}\left( {{{\vec v}_m}-\vec v} \right)

\rho \vec v = \sum\limits_m {{\rho _m}{v_m}}

\vec v = \sum\limits_m {{y_m}{{\vec v}_m}}

\sum\limits_m {{{\vec j}_m}} = 0

\rho {D_t}{y_m}+{\partial _i}{j_{m,i}} = {\omega _m}

Binäres Gemisch:

{j_{m,i}} = -\rho D{\partial _i}{y_m}

\vec v = 0

{\partial _t}{y_m} = {\partial _i}\left( {D{\partial _i}{y_m}} \right)+\frac{{{\omega _m}}}{\rho }

{\partial _t}\Theta = {\partial _i}\left( {\alpha {\partial _i}\Theta } \right)+\frac{{{q^*}}}{{\rho {c_p}{T_1}}}

Zusammenhänge:

\alpha \leftrightarrow D

{\omega _m} \leftrightarrow \frac{{{q^*}}}{{{c_p}{T_1}}}

{y_m} \leftrightarrow \Theta

\Pr = \frac{\nu }{\alpha },\quad \operatorname{Sc} = \frac{\nu }{D},\quad \operatorname{Le} = \frac{\alpha }{D}

\operatorname{Sc} = \Pr \cdot \operatorname{Le}

Beim Stofftransport nimmt \operatorname{Sc} die Stelle der Prandtl-Zahl ein, der Massenbruch nimmt die Stelle der Temperatur ein.

Erhaltungsgleichung (Spezieserhaltung):

{\partial _t}{n_m}+{\partial _i}\left( {{n_m}{v_{m,i}}} \right) = \omega _m^*

Der Quellterm ist bezogen auf das Mol und nicht auf die Masse.

Stoffstrom bezogen auf das Mol:

\vec j_m^* = {n_m}\left( {{{\vec v}_m}-{{\vec v}^*}} \right)

n{{\vec v}^*} = \sum\limits_m {{n_m}{{\vec v}_m}}

{{\vec v}^*} = \sum\limits_m {{x_m}{{\vec v}_m}}

Wenn wir verschiedene Spezies haben (etwa verschiedene Teilchengrößen), dann haben wir einen Netto-Molstrom von Null, aber einen Massenstrom ungleich Null.

Analog zu den Massendichten können wir die Transportgleichung für die Moldichten aufstellen:

n{D_t}{x_m}+{\partial _i}j_{m,i}^* = \omega _m^*

j_{m,i}^* = -nD{\partial _i}{x_m}

6.2.2 Beispiel: Diffusion durch Verdunstung in einem Rohr

wst-6-04-diffusion-verdunstung-rohr-beispiel

Es gilt p = n{R_m}T, falls p,T = \operatorname{const}.

\Rightarrow \quad n = \operatorname{const} = \sum\limits_m {{n_m}} = {n_A}+{n_B}

\Rightarrow \quad 1 = {x_A}+{x_B}\quad \Rightarrow \quad {x_B} = 1-{x_A}

Stationär, keine chemische Reaktion:

\omega _m^* = 0\quad \Rightarrow \quad {\partial _i}\left( {{n_m}{v_{m,i}}} \right) = 0

\frac{d}{{dz}}\left( {{n_A}{v_{A,z}}} \right) = 0,\quad {n_A}{v_A} = \operatorname{const}

{n_B}{v_B} = \operatorname{const}

Komponente B unlöslich in Flüssigkeit:

{v_B}\left( {z = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {n_B}{v_B} = 0\quad \Rightarrow \quad {x_B}{v_B} = 0

\vec j_A^* = {n_A}\left( {{{\vec v}_A}-{{\vec v}^*}} \right) \Rightarrow \quad {n_A}{v_A} = {n_A}{v^*}+j_A^* = {n_A}\left( {{x_A}{v_A}+\underbrace {{x_B}{v_B}}_{ = 0}} \right)-nD\frac{{d{x_A}}}{{dz}}

{n_A}{v_A} = {n_A}{v_A}{x_A}-nD\frac{{d{x_A}}}{{dz}},\quad {n_A}{v_A} = -\frac{1}{{1-{x_A}}}nD\frac{{d{x_A}}}{{dz}} = \operatorname{const}

n,D = \operatorname{const} \Rightarrow \quad \frac{1}{{1-{x_A}}}\frac{{d{x_A}}}{{dz}} = \operatorname{const} ,\quad \frac{{d{x_A}}}{{1-{x_A}}} = \operatorname{const} \cdot dz

\Rightarrow \quad \ln \left( {1-{x_A}} \right) = {c_1}+{c_2}z

Randbedingung:

{x_A}\left( {z = 0} \right) = x_A^{sat} = {x_{A,0}},\quad {x_A}\left( {z = L} \right) = {x_{A,L}} = {x_{A,L}} \leq {x_{A,0}}

\ln \left( {1-{x_A}} \right) = \ln \left( {1-{x_{A,0}}} \right)+\left[ {\ln \left( {1-{x_{A,L}}} \right)-\ln \left( {1-{x_{A,0}}} \right)} \right]\frac{z}{L}

\Rightarrow \quad \frac{{1-{x_A}\left( z \right)}}{{1-{x_{A,0}}}} = {\left( {\frac{{1-{x_{A,L}}}}{{1-{x_{A,0}}}}} \right)^{\frac{z}{L}}}

Verdampfungsstrom (Stefan-Strom):

{n_A}{v_A} = \frac{1}{{1-{x_A}}}nD\frac{{d{x_A}}}{{dz}} = \frac{{nD}}{L}\ln \left( {\frac{{1-{x_{A,L}}}}{{1-{x_{A,0}}}}} \right)

{x_A} = \frac{{{p_A}}}{p},\quad p = \operatorname{const} :\quad {x_{A,0}} = \frac{{{p_{A,0}}}}{p} = \frac{{{p^{sat}}\left( T \right)}}{p},\quad {x_{A,L}} = \frac{{{p_{A,L}}}}{p}

6.3 Grenzschicht mit Wärme- und Stofftransport

6.3.1 Herleitung der Gleichungen

Wir betrachten Geschwindigkeits- und Temperaturgrenzschichten.

Ohne Reaktion:

\omega _m^* = 0,\quad {q^*} = 0

Es gilt:

{\partial _t}\Theta +u{\partial _x}\Theta +v{\partial _y}\Theta = \alpha \partial _y^2\Theta

{\partial _t}{y_m}+u{\partial _x}{y_m}+v{\partial _y}{y_m} = D\partial _y^2{y_m}

{\varphi _m} = \frac{{{y_m}-y_m^0}}{{y_m^\infty -y_m^0}}

y = 0,\;\;x < 0\quad \Rightarrow \quad {\varphi _m} = 0

y \to \infty \quad \Rightarrow \quad {\varphi _m} = 1

Analogie Wärme-/Stoffübertragung:

\Theta = f\left( {Geometrie,\hat x,\operatorname{Re} ,\Pr } \right)

{\varphi _m} = f\left( {Geometrie,\hat x,\operatorname{Re} ,\Pr } \right)

\operatorname{Sc} = \frac{\nu }{D}

\frac{{\dot Q}}{A} = \dot q = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right) = -k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right|_{y = 0}}

\operatorname{Nu} = \frac{{hL}}{k} = f\left( {Geometrie,\xi ,\operatorname{Re} ,\Pr } \right)

{\left. {{j_m}} \right|_{y = 0}} = {h_m}\left( {{\rho _{m,W}}-{\rho _{m,\infty }}} \right) = -\rho D{\left. {\frac{{\partial {y_m}}}{{\partial y}}} \right|_{y = 0}}

Wir führen nun eine dimensionslose Kennzahl ein, die beim Stofftransport der Nusselt-Zahl des Wärmetransports entspricht.

Sherwood-Zahl:

\operatorname{Sh} = \frac{{{h_m}L}}{D}

\operatorname{Nu} = f\left( {\xi ,\operatorname{Re} ,\Pr } \right)

\operatorname{Sh} = f\left( {\xi ,\operatorname{Re} ,\operatorname{Sc} } \right)

6.3.2 Beispiel 1: Ebene Platte

Es gilt:

{\operatorname{Nu} _x} = \frac{{hx}}{k} = 0,332\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} {\Pr ^{\frac{1}{3}}},\quad {\operatorname{Re} _x} = \frac{{{u_\infty }x}}{\nu }

{\operatorname{Sh} _x} = \frac{{{h_m}x}}{D} = 0,332\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} {\operatorname{Sc} ^{\frac{1}{3}}}

Reynolds-Analogie:

\frac{{{c_f}}}{2} = \operatorname{St} {\Pr ^{\frac{2}{3}}} = {\operatorname{St} _m}{\operatorname{Sc} ^{\frac{2}{3}}}

\operatorname{St} = \frac{{\operatorname{Nu} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}\Pr }},\quad {\operatorname{St} _m} = \frac{{\operatorname{Sh} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}\operatorname{Sc} }}

{\operatorname{St} _m}: “mass transfer Stanton number”

6.3.2 Beispiel 2: Filmverdampfung

Stoffübergang:

{j_w} = {\rho _W}{h_m}\left( {y_W^0-y_W^\infty } \right) = {h_m}\left( {\rho _W^0-\rho _W^\infty } \right)

Wir nehmen an, dass es sich um Luft und Wasserdampf handelt und dass die Wasserdampfkonzentration in der Luft sehr klein ist.

p = {p_L}+{p_W} \approx {p_\infty }

{p_i} = {\rho _i}{R_i}T = {n_i}{R_m}T

Randbedingungen:

gesättigter Dampf bei y = 0:

p_W^0 = {p_S}\left( {{T_W}} \right) = \rho _W^0\frac{{{R_m}}}{{{M_W}}}{T_W}

Dampfgehalt bei y \to \infty:

p_W^\infty = \rho _W^\infty {R_W}{T_\infty }

Wärmeübertragung:

{\left( {\frac{{\dot Q}}{A}} \right)_{Verdunstung}} = {h_{fg}}{j_W}

Wärmeübergang aus der Luft:

\left( {\frac{{\dot Q}}{A}} \right) = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

Stationär:

{{\dot q}_{\text{Verdunstung}}} = {{\dot q}_{\text{W\"U}}}

{h_{fg}}{h_m}\left( {\rho _W^0-\rho _W^\infty } \right) = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

{T_W}-{T_\infty } = {h_{fg}}\frac{{{h_m}}}{h}\frac{M}{{{R_m}}}\left( {\frac{{{p_S}\left( {{T_W}} \right)}}{{{T_W}}}-\frac{{p_W^\infty }}{{{T_\infty }}}} \right)

Dies ist die Bestimmungsgleichung für die Filmtemperatur {T_W}.

Nusselt-Korrelation für Ebene:

h = \frac{{{{\operatorname{Nu} }_x}k}}{x} = 0,332\operatorname{Re} _x^{\frac{1}{2}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}}\frac{k}{x}

{h_m} = \frac{{{{\operatorname{Sh} }_x}D}}{x} = 0,332\operatorname{Re} _x^{\frac{1}{2}}{\operatorname{Sc} ^{\frac{1}{3}}}\frac{D}{x}

\frac{{{h_m}}}{h} = \frac{D}{k}{\left( {\frac{{\operatorname{Sc} }}{{\Pr }}} \right)^{\frac{1}{3}}}

\operatorname{Le} \frac{k}{{\rho {c_p}D}}\quad \Rightarrow \quad \frac{D}{k} = \frac{1}{{\rho {c_p}\operatorname{Le} }}

\frac{{\operatorname{Sc} }}{{\Pr }} = \frac{\nu }{D}\frac{k}{\nu } = \frac{k}{D}

\frac{{{h_m}}}{h} = \frac{D}{k}{\operatorname{Le} ^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{{\rho {c_p}{{\operatorname{Le} }^{\frac{2}{3}}}}}

Anhang: Dimensionslose Kenngrößen

Biot-Zahl: Verhältnis vom äußeren Wärmeübergang, also dem Wärmetransport von der Oberfläche zum umgebenden Medium, zum inneren Wärmeübergang, der Wärmeleitung durch den Körper.

\operatorname{Bi} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{Fk}}}}

Fourier-Zahl: Entdimensionierte Zeit, Verhältnis der geleiteten zur gespeicherten Wärme.

\operatorname{Fo} = \frac{{\alpha t}}{{{L^2}}}

Lewis-Zahl: Verhältnis aus Wärmeleitung zu Diffusion.

\operatorname{Le} = \frac{k}{{D\rho {c_p}}}

Nusselt-Zahl: Verhältnis aus konvektivem Wärmeübergang zu reiner Wärmeleitung im Fluid.
\operatorname{Nu} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{Fluid}}}}

Prandtl-Zahl: Verhältnis zwischen kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit

\Pr = \frac{\nu }{\alpha }

Reynolds-Zahl: Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften

\operatorname{Re} = \frac{{vL}}{\nu }

Schmidt-Zahl: Verhältnis von viskosem Impulstransport zu diffusivem Stofftransport

\operatorname{Sc} = \frac{\nu }{D}

Stanton-Zahl: Normierter Wärmeübergangskoeffizient, Verhältnis der gesamten übergehenden Wärme zur konvektiv transportierten Wärme. Grundsätzlich gilt: Je größer die Stanton-Zahl desto schneller verläuft der Prozess.

\operatorname{St} = \frac{{\operatorname{Nu} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}\Pr }}

Stefan-Zahl: Verhältnis von fühlbarer Wärme zu latenter Wärme. Nützlich bei Phasenübergängen.

\operatorname{St} = \frac{{{c_V}\left( {{T_E}-{T_0}} \right)}}{{{h_E}}}

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1 Kommentar zu “6 – Stofftransport”

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