15 – Strahlung zwischen parallelen Platten

 

Zwei ebene, parallele Platten von 10{m^2} Fläche tauschen Wärme allein durch Strahlung aus, wobei eine Platte gekühlt wird. Platte I besitzt eine Emissionszahl {\varepsilon _1} = 0.8 und befindet sich auf einer Temperatur {T_1} = 1000^\circ C.

Wie groß darf die Emissionszahl {\varepsilon _2} der Platte II höchstens sein, wenn bei einer Kühlleistung von 200kW die Plattentemperatur {T_{\max} } = 500^\circ C nicht überschreiten soll?

Vernachlässigen Sie bei dieser Rechnung Randeffekte. Die Platten sollen als graue Strahler betrachtet werden.

Lösung

Diese Aufgabe behandelt den Strahlungsaustausch zweier ebener, paralleler Platten im Vakuum. Skizze des Problems:

strahlung-parallele-platten-warmeubertragung

Es treten keine Randeffekte auf, die Platten werden als graue Strahler betrachtet (gleichmäßige Strahlung auf allen Wellenlängen in alle Richtungen). Für den Strahlungswärmestrom eines grauen Strahlers gilt allgemein das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz:

{\dot Q_S} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot {T^4}

mit der Strahlenden Fläche A, dem Emissionsgrad \varepsilon, der Temperatur T und der Stefan-Boltzmann-Konstante

\sigma = 5,67 \cdot {10^{-8}}\frac{W}{{{m^2}{K^4}}}

Der Nettowärmestrom durch Strahlung zwischen zwei parallelen Flächen gleicher Größe A ergibt sich aus der Bilanz über einfallenden, absorbierten bzw. emittierten und reflektierten Wärmestrom:

{\dot Q_{S,12}} = \sigma \cdot {A_{12}} \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

mit der modifizierten Fläche

{A_{12}} = \frac{A}{{\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1}}

Platte I hat die Temperatur {T_1} = 1000^\circ C und die Emissionszahl {\varepsilon _1} = 0,8. Platte II ist rückseitig gekühlt. Die Kühleinrichtung kann maximal 200kW Wärmeleistung abführen, und die Platte II darf die Temperatur {T_1} = 500^\circ C nicht überschreiten. Gesucht ist die maximal erlaubte Emissionszahl der Platte II. Diese lässt sich durch Umstellen der Gleichung für den Wärmestrom bestimmen:

{{\dot Q}_{S,12}} = \sigma \cdot \frac{A}{{\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1}} \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1} \right) = \sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}-1} \right)+{{\dot Q}_{S,12}} \cdot \frac{1}{{{\varepsilon _2}}} = \sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{\varepsilon _2} = \frac{{{{\dot Q}_{S,12}}}}{{\sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)-{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}-1} \right)}},\quad \quad {{\dot Q}_{S,12}} = {{\dot Q}_{k\ddot uhl}}

{\varepsilon _2} = \frac{{2 \cdot {{10}^5}W}}{{\sigma \cdot 10{m^2} \cdot \left( {{{\left( {1273,15K} \right)}^4}-{{\left( {773,15K} \right)}^4}} \right)-2 \cdot {{10}^5}W \cdot \frac{1}{4}}} = 0,162