1 – Struktur des digitalen Regelkreises

 

1.1 – Digital vs. Analog

Ein zeitkontinuierlicher Regler mit Übertragungsfunktion C\left( S \right) ist realisierbar als elektronische Analogschaltung (Widerstände, Kapazitäten, Operationsverstärker, …) oder mit Hilfe eines Digitalrechners (Mikrocontroller, Mikroprozessoren). Die beiden Möglichkeiten sind nachfolgend skizziert.

Analog:

analoger-regelkreis-struktur-strecke-kontinuierlich

Digital:

digitaler-regelkreis-struktur-diskret-kontinuierlich

Analogschaltungen sind schlecht anpassbar. Sie können nur für einen festen Satz von Parametern zusammengelötet werden. Bei Digitalrechnern ist die Hardware universell einsetzbar, es können daher große Stückzahlen produziert werden. Eine Änderung des Regelgesetzes ist durch Änderung der Software möglich, die Hardware bleibt identisch.

Der Digitalrechner braucht vom Rückführzweig zu diskreten Zeitpunkten digitale (d.h. als Binärzahlen darstellbare) Zahlen und macht daraus gemäß Regelgesetz digitale Stellgrößenwerte.

1.2 Signalweg durch den Rückführzweig

Der Sensor erfasst die zeitkontinuierliche Messgröße y\left( t \right), häufig als Spannung. Ein Analog/Digital-Wandler macht daraus eine Binärzahl \hat y (i.a. eine Sequenz von 8, 16, 32 oder 64 Bits).

Es sind nur diskrete Werte darstellbar, daher gibt es eine Quantisierung des Raumes \mathbb{R} möglicher Messwerte:

abtastung-zeitkontinuierliches-signal-diskretisierung

Moderne A/D-Wandler haben eine hohe Auflösung von meist mehr als 16 Bit. Die Diskretisierung ist daher so fein, dass Quantisierungseffekte gering sind und hier nicht weiter behandelt werden.

Die A/D-Wandlung wiederholt sich alle T Sekunden (äquidistante Abtastung). T ist dabei die Abtastzeit (sampling time). Der A/D-Wandler dient als Abtaster (sampler).

quantisierung-signal-diskretisierung

Wir erhalten eine Wertefolge {y_k} = y\left( {k \cdot T} \right),\:\:k = 0,1,2, \ldots

Die Abtastrate {T^{-1}} entspricht der Anzahl der Abtastungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen. Die zugehörige Abtastkreisfrequenz ist

{\omega _T} = \frac{{2\pi }}{T}

1.3 Aliasing-Effekt

Sehr viele Funktionen erzeugen dieselbe Folge von Abtastwerten. Als Beispiel betrachten wir sinusförmige Signale:

{y_1}\left( t \right) = \sin \left( {{\omega _1}t} \right)\quad \Rightarrow \quad {y_1}\left( k \right) = \sin \left( {k{\omega _1}T} \right)

{y_2}\left( t \right) = \sin \left( {{\omega _2}t} \right)\quad \Rightarrow \quad {y_2}\left( k \right) = \sin \left( {k{\omega _2}T} \right)

Dabei ist k \in \mathbb{N}.

Wir betrachten hier speziell den Fall

{\omega _2} = {\omega _1}+l\frac{{2\pi }}{T}\quad \Rightarrow \quad {y_2}\left( k \right) = \sin \left( {k{\omega _1}T+\frac{{2kTl\pi }}{T}} \right) = \sin \left( {k{\omega _1}T} \right) = {y_1}\left( k \right)

aliasing-effekt-shannon-theorem-frequenz

Diese Reduktion der Frequenz des Signals durch den Abtastvorgang nennt man in der Regelungstechnik Aliasing. Damit Aliasing nicht auftreten kann, muss die Abtastung schnell sein im Vergleich zu den im Signal y\left( t \right) enthaltenen Sinusfunktionen, d.h. {\omega _T} muss größer sein als das doppelte der höchsten in y\left( t \right) auftretenden Kreisfrequenz {\omega _{\max} }:

{\omega _T} > 2{\omega _{\max} }

Dies wird auch als Abtasttheorem nach Shannon bezeichnet (nähere Informationen dazu bei der Fourieranalyse / Spektraltransformation). Die Anwendung des Abtasttheorems ist in der Regelungstechnik schwierig, da wichtige Signale nicht bandbegrenzt sind.

Konsequenzen des Aliasing-Effektes für den Regelkreis:

Aus Messungen, die besagen, dass {y_k} = 0\:\:\forall k > \hat k, kann nicht geschlossen werden, dass gilt: y\left( t \right) = 0\:\:\forall t > \hat kT, denn es könnten versteckten Schwingungen auftreten, wie z.B. im folgenden Fall in der unteren Abbildung (abklingende Schwingung):

aliasing-effekt-versteckte-schwingung-abklingen

Auf solche versteckte Schwingungen kann der Regler nicht reagieren. In diesem Fall wäre das nicht so schlimm, da die Schwingung abklingt (stabile Mode). Der gleiche Effekt könnte aber auch bei einer stärker werdenden Schwingung auftreten.

Ein weiteres Problem entsteht, wenn die Regelstrecke Tiefpasscharakter hat:

aliasing-effekt-tiefpass-rauschen-verstarkung

Ein hochfrequentes Messrauschen wäre im kontinuierlichen Regelkreis nicht wirksam. Durch Aliasing wird aber eventuell das hochfrequente Rauschen in ein Störsignal mit niedrigerer Frequenz umgewandelt. Das kann sich auf die Regelstrecke auswirken. Abhilfe schafft ein Antialiasing-Filter, der Anteile oberhalb der halben Abtastfrequenz wegfiltert:

anti-aliasing-filter-regelkreis-ruckkopplung

Folgende Eigenschaften von Abtastsystemen sind ersichtlich:

  • Ein (totzeitfreies) kontinuierliches Modell n-ter Ordnung bleibt bei der zeitdiskreten Betrachtungsweise ein System n-ter Ordnung.
  • Das zeitdiskrete Modell beschreibt das Verhalten des kontinuierlichen Systems an den Abtastzeitpunkten t = kT exakt.
  • Die Parameter des zeitdiskreten Systems sind von der Abtastzeit T abhängig. Ändert man also im Laufe der Analyse und des Reglerentwurfs die Abtastzeit, so müssen die Modellparameter angepasst und die Analyse- und Entwurfsergebnisse entsprechend revidiert werden.
  • Die Matrix {A_d} = {e^{AT}} ist für beliebige Abtastzeiten und beliebige Systemmatrizen regulär. Dies zeichnet Abtastsysteme als spezielle zeitdiskrete Systeme aus. Bei allgemeinen zeitdiskreten Systemen können die Parameter {A_d},{\vec b_d},\vec c_d^T,{d_d} hingegen beliebige Matrizen/Vektoren/Skalare sein.

1.4 Modellierung des zeitdiskreten Systems

Statt der kontinuierlichen Ausgangsfunktion haben wir nun eine diskrete Folge von Ausgangswerten:

y\left( {kT} \right) \to {y_k}

Ebenso ersetzen wir das Referenzsignal r\left( t \right):

r\left( {kT} \right) \to {r_k}

Der Regelfehler ist die Differenz zwischen Referenzsignal (gewünschter Wert) und Ausgangswert (tatsächlicher Wert der Variablen):

{e_k}: = {r_k}-{y_k}

Ein Digitalrechner macht aus {e_k} (aktueller Fehlerwert) und {e_{k-1}},{e_{k-2}}, \ldots (vergangene Fehlerwerte) das aktuelle Stellsignal {u_k}. Dieses wird als Binärzahl berechnet und anschließend in ein Analogsignal umgewandelt, z.B. eine Spannung:

halteglied-ordnung-analog-digital

Ein digitaler Regelkreis ist eine Zusammenschaltung eines zeitkontinuierlichen Systems (Strecke) mit einem zeitdiskreten (Regler). Ziel ist die einheitliche Modellierung des Gesamtsystems. Wir beschreiben nun die Regelstrecke durch eine äquivalente zeitdiskrete Beschreibung (linear time invariant model), einen sogenannten diskreten Simulator.

Ausgangspunkt: LTI-Modell der Strecke:

\dot {\vec x} = A\vec x+\vec bu,\quad \vec x\left( {{t_0}} \right) = {{\vec x}_0}

y = {{\vec c}^T}\vec x+du

Formale Lösung der Differentialgleichung (siehe Einleitung zu LTI Systemen im Zustandsraum):

\vec x\left( t \right) = {e^{A\left( {t-{t_0}} \right)}}{\vec x_0}+\int_{{t_0}}^t {{e^{A\left( {t-\tau } \right)}}\vec bu\left( \tau \right)d\tau }

Wir brauchen den Zustand \vec x\left( t \right) nur zu den Zeitpunkten kT. Aufgrund des Haltegliedes gilt:

u\left( \tau \right) = {u_k},\quad \forall \tau \in \left[ {kT,\left( {k+1} \right)T} \right]

halteglied-zeitabstand-intervall

Wir können daher die Folgeglieder iterativ berechnen:

{\vec x_{k+1}} = \underbrace {{e^{A\left( {\left( {k+1} \right)T-kT} \right)}}}_{{e^{AT}}}{\vec x_k}+\left( {\int_{kT}^{\left( {k+1} \right)T} {{e^{A\left( {\left( {k+1} \right)T-\tau } \right)}}d\tau } } \right)\vec b{u_k}

Wir substituieren {\tau ^\prime } = \left( {k+1} \right)T-\tau:

{\vec x_{k+1}} = \underbrace {{e^{A\left( {\left( {k+1} \right)T-kT} \right)}}}_{{e^{AT}}}{\vec x_k}+\underbrace {\left( {\int_{kT}^{\left( {k+1} \right)T} {{e^{A\left( {\left( {k+1} \right)T-\tau } \right)}}d\tau } } \right)}_{\int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } }\vec b{u_k}

Das durch Abtastung aus der zeitkontinuierlichen Strecke gewonnene System, das sogenannte Abtastsystem (Zustandsraummodell eines zeitdiskreten SISO-Systems (single input, single output)), lautet:

{{\vec x}_{k+1}} = {A_d}{{\vec x}_k}+{{\vec b}_d}{u_k}

{y_k} = \vec c_d^T{{\vec x}_k}+{d_d}{u_k}

Der Anfangszustand {\vec x_0} ist gegeben. Die Parameter {A_d} (Systemmatrix), {\vec b_d} (diskreter Einkopplungsvektor), \vec c_d^T (diskreter Auskopplungsvektor) und {d_d} ergeben sich aus Parametern des zeitkontinuierlichen Systems gemäß

{A_d} = {e^{AT}},\quad \quad {\vec b_d} = \left( {\int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } } \right)\vec b,\quad \quad \vec c_d^T = {\vec c^T},\quad \quad {d_d} = d

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1 Kommentar zu “1 – Struktur des digitalen Regelkreises”

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