0.2 – Systemeigenschaften (Linearität, Zeitinvarianz, Stabilität)

 

0.2.1 Linearität

Ein System der Ordnung n sei in Form seiner Zustandsraumdarstellung gegeben:

\dot {\vec x} = \vec f\left( {\vec x,\vec u,t} \right),\quad \quad \vec x\left( {{t_0}} \right) = {{\vec x}_0}

\vec y = \vec h\left( {\vec x,\vec u,t} \right)

Dabei ist \vec x \in {\mathbb{R}^n}, \vec u \in {\mathbb{R}^p} (d.h. p Eingangssignale), \vec y \in {\mathbb{R}^q} (d.h. q Ausgangssignale).

Die Lösung der Zustands-DGL zur Zeit t hängt vom Anfangswert {\vec x_0} und von der Eingangsgröße {\vec u_{\left[ {{t_0},t} \right]}}: = {\left. {\vec u\left( \tau \right)} \right|_{{t_0} \leq \tau \leq t}} ab. Wir drücken diese Abhängigkeit aus, indem wir schreiben:

Trajektorie im Zustandsraum: {\vec x_{{{\vec x}_0},{{\vec u}_{\left[ {{t_0},t} \right]}}}}\left( t \right)

Da die Ausgangsgröße \vec y ganz wesentlich von der Trajektorie abhängt, hängt sie damit ebenfalls vom Anfangszustand und der Eingangsgröße ab und wir schreiben:

{\vec y_{{{\vec x}_0},{{\vec u}_{\left[ {{t_0},t} \right]}}}}\left( t \right) = \vec h\left( {{{\vec x}_{{{\vec x}_0},{{\vec u}_{\left[ {{t_0},t} \right]}}}}\left( t \right),\vec u\left( t \right),t} \right)

Das System nennt man linear, wenn seine Ausgangsgröße für jeden beliebigen Anfangszeitpunkt und für alle zulässigen Eingangsgrößen zu jedem Zeitpunkt alle folgenden drei Bedingungen erfüllt:

  1. Nulleingangs-Linearität (Superpositionsprinzip für Anfangswerte):

    {\vec y_{\alpha \vec x_0^{\left( 1 \right)}+\beta \vec x_0^{\left( 2 \right)},\vec u \equiv \vec 0}}\left( t \right) = \alpha {\vec y_{\vec x_0^{\left( 1 \right)},\vec u \equiv \vec 0}}\left( t \right)+\beta {\vec y_{\vec x_0^{\left( 2 \right)},\vec u \equiv \vec 0}}\left( t \right)

  2. Null-Anfangszustands-Linearität (Superposition für Eingangsgrößen):

    {\vec y_{{{\vec x}_0} \equiv \vec 0,\gamma {{\vec u}_1}+\delta {{\vec u}_2}}}\left( t \right) = \gamma {\vec y_{{{\vec x}_0} \equiv \vec 0,{{\vec u}_1}}}\left( t \right)+\delta {\vec y_{{{\vec x}_0} \equiv \vec 0,{{\vec u}_2}}}\left( t \right)

  3. Superpositionsprinzip hinsichtlich der Eingangsgrößen mit den Anfangswerten:

    {\vec y_{{{\vec x}_0},\vec u}}\left( t \right) = {\vec y_{{{\vec x}_0},\vec 0}}\left( t \right)+{\vec y_{\vec 0,\vec u}}\left( t \right)

0.2.2 Zeitinvarianz

Wie ändert sich die Systemantwort (d.h. das Ausgangssignal), wenn ein ansonsten gleiches Eingangssignal statt zum Zeitpunkt {t_0} zu einem späteren Zeitpunkt {t_0}+T startet?

Definition: Das System in Zustandsraumdarstellung

\dot {\vec x} = \vec f\left( {\vec x,\vec u,t} \right),\quad \quad \vec x\left( {{t_0}} \right) = {{\vec x}_0}

\vec y = \vec h\left( {\vec x,\vec u,t} \right)

heißt zeitinvariant, wenn für alle zulässigen Eingangsgrößen und jeden beliebigen Anfangszeitpunkt {t_0} > 0 für alle t \geq {t_0} gilt:

Falls

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec x\left( {{t_0}} \right) = {{\vec x}_0}} \\{\vec u\left( \tau \right),\quad \tau \in \left[ {{t_0},t} \right]} \\ \end{array} } \right\}\quad \mapsto \quad \vec y\left( t \right)

so folgt daraus:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec x\left( {{t_0}+T} \right) = {{\vec x}_0}} \\{\vec u\left( {\tau -T} \right),\quad \tau \in \left[ {{t_0}+T,t+T} \right]} \\ \end{array} } \right\}\quad \mapsto \quad \vec y\left( {t-T} \right)

Ein System in Zustandsraumdarstellung ist genau dann linear und zeitinvariant, wenn es sich in die Form

\dot {\vec x} = A\vec x+B\vec u

\vec y = C\vec x+D\vec u

überführen lässt, wobei A,B,C,D konstante Matrizen sind. Lineare zeitinvariante Systeme werden im Englischen als Linear Time Invariant System, kurz LTI-System, bezeichnet.

0.2.3 Stabilität

Wir betrachten ein LTI-System. Beim Konzept der Stabilität geht es darum, eine qualitative Antwort auf die Frage zu erhalten, wie gutmütig oder boshaft ein System auf gezielt oder unbeabsichtigt angreifende äußere Einwirkungen reagiert.

Grundsätzlich kann man zwischen zwei verschiedenen Einwirkungen unterscheiden:

  • Anregung durch Anfangsauslenkung
  • Einwirkung einer von null verschiedenen Eingangsgröße

Wir gehen davon aus, dass das System einen Gleichgewichts- bzw. Ruhepunkt {\vec x_R} besitzt. Wenn dieser Zustand einmal erreicht ist, wird er nie wieder verlassen, wenn keine Störeinflüsse vorhanden sind. Es gibt nun verschiedene Arten von Stabilität:

  • Asymptotische Stabilität: Das System strebt bei einer Anfangsauslenkung und ohne äußere Einwirkung zum Ruhepunkt hin (es kann dabei z.B. auch um diesen schwingen)
  • Grenzstabilität: Das System bleibt konstant oder schwingt mit konstanter Amplitude
  • BIBO-Stabilität (Bounded Input – Bounded Output): Das System ohne Anfangsauslenkung antwortet auf eine beschränkte Eingangsgröße stets mit einer beschränkten Ausgangsgröße