Lösung eines Systems aus Knoten- und Maschengleichungen

 

Dies ist der 300. Artikel im ME-NET! Veröffentlicht um 00:00 Uhr am 01.07.2009

Gegeben ist das folgende Schaltbild:

Schaltbild

Gesucht sind alle unbekannten Zweiggrößen.

Lösung

Zwei Knotengleichungen:

I_0 +I_{U1} -I_1  = 0

I_{U2} -I_2 -I_{U1}  = 0

Vier Maschengleichungen:

R_1 I_1 -U_I  = 0

I_2 R_2 -I_1 R_1 +U_{E1}  = 0

U_{E2} -I_{U2} R_3 -I_2 R_2  = 0

U_{AB} +R_3 I_{U2}  = 0

Wir berechnen zuerst I2, dazu stellen wir die vorletzte Formel nach I2 um:

I_2  = \frac{{U_{E2} -I_{U2} R_3 }} {{R_2 }}

Nun ist IU2 unbekannt. Wir formen daher die zweite Gleichung um:

I_{U2}  = I_2 +I_{U1}

Nun ist IU1 unbekannt. Wir formen daher die erste Gleichung um:

I_{U1}  = -I_0 +I_1

Nun ist I1 unbekannt. Wir formen daher die vierte Gleichung um:

I_1  = \frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}

Die so entstandenen neuen Gleichungen setzen wir alle ineinander ein:

I_2  = \frac{{U_{E2} -\left( {I_2 +\left( {-I_0 +\frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}} \right)} \right)R_3 }} {{R_2 }}

Vereinfachen:

I_2  = \frac{{U_{E2} -\left( {I_2 R_3 +\left( {-I_0 R_3 +\frac{{I_2 R_2 R_3 }} {{R_1 }}+\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 }}} \right)} \right)}} {{R_2 }}

I_2  = \frac{{U_{E2} }} {{R_2 }}-\frac{{I_2 R_3 }} {{R_2 }}+\frac{{I_0 R_3 }} {{R_2 }}-\frac{{I_2 R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 }}-\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}

I_2  = \frac{{\frac{{U_{E2} }} {{R_2 }}+\frac{{I_0 R_3 }} {{R_2 }}-\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}}} {{1+\frac{{R_3 }} {{R_2 }}+\frac{{R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 }}}}

I_2  = \frac{{U_{E2} R_1 +I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}\frac{{R_1 R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_2  = \frac{{I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 +U_{E2} R_1 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Nun berechnen wir I1:

I_1  = \frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}

I_1  = \frac{{\frac{{I_0 R_1 R_2 R_3 -U_{E1} R_2 R_3 +U_{E2} R_1 R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}+U_{E1} }} {{R_1 }}

I_1  = \frac{{\frac{{I_0 R_1 R_2 R_3 -U_{E1} R_2 R_3 +U_{E2} R_1 R_2 +U_{E1} R_1 R_2 +U_{E1} R_3 R_1 +U_{E1} R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}}} {{R_1 }}

I_1  = \frac{{I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für IU1 folgt:

I_{U1}  = I_1 -I_0

I_{U1}  = \frac{{I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 -I_0 \left( {R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_{U1}  = \frac{{-I_0 R_1 R_2 -I_0 R_3 R_1 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für IU2 folgt:

I_{U2}  = I_2 +I_{U1}

I_{U2}  = \frac{{I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 +U_{E2} R_1 -I_0 R_1 R_2 -I_0 R_3 R_1 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_{U2}  = \frac{{-I_0 R_1 R_2 +U_{E1} R_2 +U_{E2} R_1 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für UI folgt:

U_I  = R_1 I_1

U_I  = \frac{{R_1 \left( {I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

und schließlich für Für UAB:

U_{AB}  = -R_3 I_{U2}

U_{AB}  = \frac{{R_3 \left( {I_0 R_1 R_2 -U_{E1} R_2 -U_{E2} R_1 -U_{E2} R_2 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Zum Vergleich die Lösung von Mathematica

von Mathematica gelöstes Gleichungssystem