01.1 – Taylorentwicklung im zweidimensionalen Raum

 

Zeigen Sie, dass für die Taylorentwicklung im {\mathbb{R}^2} gilt:

f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{l = 0}^{n-k} {\frac{1}{{k!}}\frac{1}{{l!}}\frac{{{\partial ^{k+l}}}}{{\partial {x^k}\partial {y^l}}}f\left( {{x_0},{y_0}} \right){{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}{{\left( {y-{y_0}} \right)}^l}} }

+\sum\limits_{k = 0}^{n+1} {O\left( {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}{{\left( {y-{y_0}} \right)}^{n+1-k}}} \right)}

Verwenden Sie dazu die Formel

f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k!}}\frac{{{\partial ^k}}}{{\partial {x^k}}}f\left( {{x_0}} \right){{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}} +O\left( {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^{n+1}}} \right)

für die Taylorentwicklung im eindimensionalen Fall.

Lösung

Die Idee der eindimensionalen Taylorentwicklung ist nacheinander für die beiden Komponenten x und y auszuführen.

1. Schritt:

f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k!}}\frac{{{\partial ^k}}}{{\partial {x^k}}}f\left( {{x_0},y} \right){{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}} +O\left( {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^{n+1}}} \right)

2. Schritt:

f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\left[ {\sum\limits_{l = 0}^{n-k} {\frac{1}{{k!}}\frac{1}{{l!}}\frac{{{\partial ^{k+l}}}}{{\partial {x^k}\partial {y^l}}}f\left( {{x_0},{y_0}} \right){{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}{{\left( {y-{y_0}} \right)}^l}} +O\left( {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^k}{{\left( {y-{y_0}} \right)}^{n+1-k}}} \right)} \right]}

\quad \quad \quad +O\left( {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^{n+1}}} \right)

Zusammenfassen der Restterme liefert die gegebene Formel.