31 – Tellerfederpakete und -Säulen

Die dargestellte Federsäule eines Schwingungsdämpfers besteht aus gleichen Tellerfedern nach DIN 2093 Reihe A. Der maximale Federweg pro Feder beträgt ${f_{\max }} = 0,75 \cdot h$ bei einer maximalen Belastung von ${F_{\max }} = 48000N$ .

saule-paket-tellerfeder

Daten der Tellerfedern:

${D_a} = 100mm$

${D_i} = 51mm$

$s = 6mm$

$h = 2,2mm$

${l_0} = 8,2mm$

Gesucht

31.1 – Federsteifigkeit $c$ einer Tellerfeder

31.2 – Federkonstante ${c_{1,2}}$ von Säule I

31.3 – Federkonstante ${c_{3,4,5,6}}$ von Säule II

31.4 – Federkonstante ${c_{7-12}}$ von Säule III

31.5 – Gesamtfedersteifigkeit ${c_{ges}} = {c_{1-12}}$

31.6 – Kraft ${F_I}$ und zugehöriger Federweg ${f_I}$ , bei der Säule I anliegt

31.7 – Kraft ${F_{II}}$ und zugehöriger Federweg ${f_{II}}$ , bei der Säule II anliegt

31.8 – Kraft ${F_{III}}$ und zugehöriger Federweg ${f_{III}}$ , bei der Säule III anliegt

31.9 – Federkennlinie unter Vernachlässigung der Reibung

Lösung

Einteilung der Säulen:

einteilung-saulen

Ineinander verschachtelte Federn bilden dabei ein Federpaket. Entgegengesetzt eingebaute Federn bilden eine Federsäule.

31.1 – Federsteifigkeit einer Tellerfeder

Die Federsteifigkeit ist der Quotient aus Kraft und Weg:

$c = \frac{{{F_{\max }}}}{{{f_{\max }}}} = \frac{{48000N}}{{0,75 \cdot 2,2mm}} = 29,1\frac{{kN}}{{mm}}$

Dabei kommt die $0,75$ daher, dass die Feder bis ca. 75% eine lineare Kennlinie hat.

31.2 – Federkonstante von Säule I

Eine Federsäule entspricht einer Reihenschaltung:

$\frac{1}{{{c_I}}} = \frac{1}{{{c_1}}}+\frac{1}{{{c_2}}} = \frac{2}{c}\quad \Rightarrow \quad {c_I} = \frac{c}{2} = \frac{{29,1}}{2}\frac{{kN}}{{mm}} = 14,55\frac{{kN}}{{mm}}$

31.3 – Federkonstante von Säule II

Ein Federpaket entspricht einer Parallelschaltung:

${c_{3,4}} = {c_{5,6}} = {c_3}+{c_4} = 2c = 58,2\frac{{kN}}{{mm}}$

Säule (Reihenschaltung):

$\frac{1}{{{c_{II}}}} = \frac{1}{{{c_{3,4}}}}+\frac{1}{{{c_{5,6}}}} = \frac{1}{{2c}}+\frac{1}{{2c}} = \frac{1}{c}\quad \Rightarrow \quad {c_{II}} = c = 29,1\frac{{kN}}{{mm}}$

31.4 – Federkonstante von Säule III

${c_{7-9}} = {c_{10-12}} = 3 \cdot c = 3 \cdot 29,1\frac{{kN}}{{mm}} = 87,3\frac{{kN}}{{mm}}$

Säule (Reihenschaltung):

$\frac{1}{{{c_{III}}}} = \frac{1}{{{c_{7-9}}}}+\frac{1}{{{c_{10-12}}}} = \frac{1}{{3c}}+\frac{1}{{3c}} = \frac{2}{{3c}}\quad \Rightarrow \quad {c_{III}} = \frac{3}{2}c = 43,65\frac{{kN}}{{mm}}$

31.5 – Gesamtfedersteifigkeit

Säule (Reihenschaltung):

$\frac{1}{{{c_{ges}}}} = \frac{1}{{{c_I}}}+\frac{1}{{{c_{II}}}}+\frac{1}{{{c_{III}}}} = \frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{{3c}} = \frac{{11}}{{3c}}\quad \Rightarrow \quad {c_{ges}} = \frac{3}{{11}}c = 7,936\frac{{kN}}{{mm}}$

31.6 – Kraft und Federweg von Säule I

Damit die Säule I anliegt, muss diese um das doppelte des maximalen Federwegs einer Einzelfeder zusammengepresst werden:

$f_I^\prime = 2 \cdot {f_{\max }} = 2 \cdot 0,75 \cdot h = 3,3mm$

Die Kraft, die dafür nötig ist, ist das Produkt aus der Federsteifigkeit von Säule I und dem Federweg:

${F_I} = {c_I}f_I^\prime = 14,55\frac{{kN}}{{mm}} \cdot 3,3mm = 48kN$

Bei dieser Belastung wird zwar die erste Säule komplett zusammengedrückt, die beiden anderen Säulen werden aber auch ein bisschen komprimiert. Wir müssen daher noch den gesamten Federweg bestimmen, der der Quotient aus der berechneten Kraft und der gesamten Federsteifigkeit ist:

${f_I} = \frac{{{F_I}}}{{{c_{ges}}}} = \frac{{48kN}}{{7,936\frac{{kN}}{{mm}}}} = 6,05mm$

31.7 – Kraft und Federweg von Säule II

Der benötigte Federweg ist auch hier wieder das doppelte des maximalen Federwegs einer Einzelfeder:

$f_{II}^\prime = 2 \cdot {f_{\max }} = 2 \cdot 0,75 \cdot h = 3,3mm$

${F_{II}} = {c_{II}}f_{II}^\prime = 29,1\frac{{kN}}{{mm}} \cdot 3,3mm = 96kN$

Ab einer Kraft von $48kN$ ist Säule I komplett zusammengedrückt und spielt dann keine Rolle mehr. Der Federweg bei $96kN$ setzt sich also aus dem Federweg bei $48kN$ und dem aus der restlichen Kraft resultierenden Weg zusammen. Die restliche Kraft, ${F_{II}}-{F_I}$ , kann nur Säule II und Säule III zusammendrücken. Dies müssen wir in der Federkonstante berücksichtigen:

${f_{II}} = {f_I}+\frac{{{F_{II}}-{F_I}}}{{{c_{II,III}}}}$

Die kombinierte Federsteifigkeit der Säulen II und III ist:

$\frac{1}{{{c_{II,III}}}} = \frac{1}{{{c_{II}}}}+\frac{1}{{{c_{III}}}} = \frac{5}{{3c}}\quad \Rightarrow \quad {c_{II,III}} = \frac{3}{5}c = 17,5\frac{{kN}}{{mm}}$