2.9 – Temperaturmessung in Gasen

 

Wie im letzten Kapitel besprochen kann die Temperatur in Gasen nicht mit einem Pyrometer bestimmt werden. Auch Kontaktthermometer (etwa Flüssigkeitsthermometer) scheiden in technischen Anwendungen oft wegen ihrer Trägheit und der Rückwirkung auf das Gas aus.

Es gibt drei Möglichkeiten, die nun genauer besprochen werden sollen.

2.9.1 Messung der Schallgeschwindigkeit

{c_S} = \sqrt {\frac{{\kappa kT}}{{{m_{mol}}}}} ,\quad \quad \kappa = \frac{{{c_p}}}{{{c_V}}}

2.9.2 Messung der Lichtstreuung

strahlungsmessung-streuung-diffusion-raylight

Rayleigh-Streuung:

{N_{Det}} = N \cdot n \cdot \Delta x \cdot {\sigma _{Det}}

Dabei ist n die Teilchendichte, N die Anzahl der ankommenden Teilchen und {N_{Det}} die Anzahl der gestreuten Teilchen, die vom Detektor gemessen wird. Daraus kann bei bekanntem Druck über p = nkT die Temperatur bestimmt werden.

Es gilt:

{\sigma _{Det}} = {\sigma _{Th}}\frac{{{\omega ^4}}}{{\omega _0^4}} = {\sigma _{Th}}\frac{{{f^4}}}{{f_0^4}},\quad \quad {\sigma _{Th}} = 0,665 \cdot {10^{-24}}c{m^2}

Linienbreite durch Dopplereffekt:

{f_{Beobachter}} = {f_S}\sqrt {\frac{{c+v}}{{c-v}}} = {f_S}\sqrt {\left( {1+\frac{v}{c}} \right){{\left( {1+\frac{v}{c}} \right)}^{-1}}}

= {f_S}\sqrt {\left( {1+\frac{v}{c}} \right)\left( {1+\frac{v}{c}+ \ldots } \right)} \approx {f_S}\left( {1+\frac{v}{c}} \right)

\Rightarrow \quad v = \left( {\frac{{{f_B}}}{{{f_S}}}-1} \right)c

linienbreite-strahlung-frequenz-wellenlange

Die Linienbreite \Delta f ist temperaturabhängig. Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung lautet:

P\left( {{v_x}} \right) = \sqrt {\frac{m}{{2\pi kT}}} \exp \left\{ {-\frac{{mv_x^2}}{{2kT}}} \right\}d{v_x}

Wir setzen die oben bestimmte Gleichung für die Geschwindigkeit ein:

P\left( f \right)df = \sqrt {\frac{m}{{2\pi kT}}} \exp \left\{ {-\frac{{m{c^2}{{\left( {{f_B}-{f_S}} \right)}^2}}}{{2kT \cdot f_S^2}}} \right\}\frac{c}{{{f_S}}}d{f_B}

Daraus folgt:

{\sigma _{f,B}} = \sqrt {\frac{{kT \cdot f_S^2}}{{m{c^2}}}} = \sqrt {\frac{{kT}}{{m{c^2}}}} {f_S}

\Delta {f_B} = 2\sqrt {2\ln 2} \cdot {\sigma _{f,B}} = \sqrt {8\ln 2} \cdot {\sigma _{f,B}} = \sqrt {\frac{{8\ln 2 \cdot kT}}{{m{c^2}}}} {f_S}

Dabei ist z.B. bei 300K:

kT = 25meV

m{c^2} = 28u{c^2} \approx 28GeV \cdot 1000

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f_B}}}{{{f_S}}} = \sqrt {\frac{{8\ln 2 \cdot kT}}{{m{c^2}}}} \approx 5 \cdot {10^{-7}}

Prinzipielle Probleme:

  • Turbulenzen in strömendem Gas
  • Stoßverbreiterung (in dichtem Gas stoßen die Atome oft zusammen. Die mittlere Stoßzeit \Delta t führt zu einer Linienverbreiterung. Heisenberg’sche Unschärferelation:

    \Delta t \cdot \Delta E \approx h

    \Delta t \cdot h \cdot \Delta f \approx h\quad \Rightarrow \quad \Delta f \approx \frac{1}{{\Delta t}}

    Diese Methode funktioniert daher nur bei Drücken p < 1mbar

2.9.3 Messung der Rotationsanregung von Molekülen

Stickstoff besteht aus zwei Atomen, die auf einer Achse liegen. Die Rotationsenergie ist:

{E_{rot}} = \frac{{{I^2}}}{{2J}}

Dabei ist I der Drehimpuls, für den gilt:

I = \sqrt {l\left( {l+1} \right)} \cdot \hbar \quad \Rightarrow \quad {E_{rot}} = \frac{{l\left( {l+1} \right){\hbar ^2}}}{{2J}},\quad \quad l \in {\mathbb{N}_0}

\frac{{{n_1}\left( T \right)}}{{{n_2}\left( T \right)}} = \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} \cdot \exp \left\{ {\frac{{-{E_1}-{E_2}}}{{hT}}} \right\},\quad \quad \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \operatorname{const}

Ramanstreuung:

Findet eine Wechselwirkung zwischen einem Molekül oder einem Kristall und einem Photon statt, kommt es mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit zu einer bleibenden Energieübertragung zwischen dem anregenden Photon und der angeregten Materie. Dabei ändert sich die Rotations- und Schwingungsenergie des beteiligten Moleküls bzw. die Schwingungsenergie in einem Kristallgitter. Diese unelastische Streuung von Licht an Atomen oder Molekülen bezeichnet man als Raman-Streuung. Das emittierte Streulicht ist bei der Raman-Streuung spezifisch und besitzt eine höhere oder niedrigere Frequenz als die des einfallenden Lichtstrahls.