01 – Thermische Widerstände, Reaktorwand

 

Die Ummantelung eines chemischen Reaktors besteht aus einem Aluminiumaufbau von 20mm Wandstärke, der von einem Stahlmantel der Dicke 10mm umgeben ist.

  1. Wie groß ist der flächenspezifische Wärmewiderstand des Reaktormantels?
  2. Wie groß wäre dieser Wärmewiderstand pro {m^2} Fläche des Reaktormantels, wenn zwischen Aluminiumgehäuse und Stahlmantel ein Luftspalt von 0,01mm bestünde?

Die Ummantelung ist jeweils als eben zu betrachten.

\begin{array}{*{20}{c}}{Material} &\vline & {Aluminium} & {Stahl} & {Luft} \\ \hline{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:k\:\left[ {\frac{W}{{mK}}} \right]} &\vline & {170} & {15} & {0.03} \\   \end{array}

Lösung

In dieser Aufgabe wird der stationäre Wärmestrom durch eine ebene Geometrie eindimensional betrachtet. Das Material ist isotrop mit der konstanten Wärmeleitfähigkeit k. Die Ummantelung des Reaktors ist aufgrund seines im Verhältnis zur Wandstärke großen Durchmessers nur schwach gekrümmt, so dass eine Betrachtung als ebenes Problem zulässig ist.

Für den flächenspezifischen Wärmestrom gilt allgemein das Fouriersche Gesetz:

q = \frac{{\dot Q}}{A} = -k\nabla T

Im eindimensionalen Fall wird der Nabla-Operator durch die Ableitung ersetzt:

q = -k\frac{{dT}}{{dx}}

Da in der ebenen Geometrie die durchströmte Fläche nicht von x abhängt und damit konstant ist, ergibt sich ein konstanter Temperaturgradient, denn sowohl Wärmestrom als auch Wärmeleitfähigkeit sind unveränderlich. Dies führt zu einem linearen Temperaturverlauf innerhalb der Wand:

warmeverlauf-wand-isolation

In Formeln ausgedrückt:

\dot Q = -kA\frac{{\Delta T}}{{\Delta x}}

= -kA\frac{{{T_2}-{T_1}}}{{\Delta x}}

= \frac{{kA}}{{\Delta x}}\left( {{T_1}-{T_2}} \right)

An dieser Stelle sei noch einmal die Analogie zur elektrischen Leitung aufgezeigt:

\dot Q = \frac{1}{R}\Delta T,\quad \quad \quad I = \frac{1}{R}U

Dabei ist der thermische Widerstand für eine ebene Platte folgendermaßen definiert:

R = \frac{{\Delta x}}{{kA}},\quad \quad {R_q} = RA = \frac{{\Delta x}}{k} (flächenspezifisch)

Der Kehrwert des flächenspezifischen Wärmewiderstands \frac{1}{{{R_q}}} wird in der deutschen Literatur Wärmedurchgangskoeffizient k genannt, hat die Einheit \frac{W}{{{m^2}K}} und ist nicht mit der Wärmeleitfähigkeit mit der englischen Bezeichnung k = \left[ {\frac{W}{{mK}}} \right] zu verwechseln.

a )

Der zweischichtige Mantel des Reaktors entspricht einer Reihenschaltung von thermischen Widerständen. Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus der Summe der Widerstände der einzelnen Schichten:

reaktor-mantel-warmeverlauf-schaltbild

{R_{th,q,ges}} = \sum\limits_{i = 1}^2 {{R_{th,q,i}}} = {R_{th,q,Al}}+{R_{th,q,St}}

\quad \quad = \frac{{\Delta {x_{Al}}}}{{{k_{Al}}}}+\frac{{\Delta {x_{St}}}}{{{k_{St}}}} = \frac{{0,02m}}{{170\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{0,01m}}{{15\frac{W}{{mK}}}}

\quad \quad = 0,784 \cdot {10^{-3}}\frac{{{m^2}K}}{W}

b )

Der Luftspalt hat einen zusätzlichen Wärmewiderstand, der zu den beiden anderen addiert wird. Dadurch erhöht sich der gesamte Wärmewiderstand erheblich, denn Luft ist wie alle Gase ein schlechter Wärmeleiter.

reaktor-mantel-luft-warmeverlauf-schaltbild

{R_{th,q,ges}} = \frac{{\Delta {x_{Al}}}}{{{k_{Al}}}}+\frac{{\Delta {x_L}}}{{{k_L}}}+\frac{{\Delta {x_{St}}}}{{{k_{St}}}}

\quad \quad = \frac{{0,02m}}{{170\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{{{10}^{-5}}m}}{{0,03\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{0,01m}}{{15\frac{W}{{mK}}}}

\quad \quad = 1,118 \cdot {10^{-3}}\frac{{{m^2}K}}{W}

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2 Kommentare zu “01 – Thermische Widerstände, Reaktorwand”

Servus,

bei Teilaufgabe a) steht 0,784 * 19^-3. Richtig wäre, 0,784*10^-3.
Grüße

Danke für den Hinweis, wurde geändert.

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