17 – Thermoelement und Fehlermessung

 

Bei der Messung von Gastemperaturen zeigen Temperaturfühler wie z.B. Thermoelemente eine zu niedrige Temperatur an, wenn sie durch Strahlung Energie an die Umgebung, die eine niedrigere Temperatur als das Gas besitzt, abgeben.

  1. Bestimmen Sie für den stationären Fall den Absolutwert der Fehlmessung für ein Pt/PtRh-Thermoelement, mit dem die Temperatur in einer heißen Luftströmung gemessen wird. Mit Hilfe von berührungslosen Messverfahren wurde die Temperatur der Gasströmung am Ort des Thermoelements zu {T_L} = 1000^\circ C, die der Versuchskammerwand zu {T_W} = 100^\circ C und die Geschwindigkeit der Anströmung zu {w_L} = 10\frac{m}{s} bestimmt.
  2. Wie groß ist der Messfehler, wenn die Oberfläche des Thermoelements oxidiert ist und der Emissionskoeffizient dann \varepsilon = 0.6 beträgt?

Für die Lösung dieser Aufgabe soll das Thermoelement als Zylinder mit dem Durchmesser d = 0.5mm, der Länge l = 100mm und im Teil a) mit dem Emissionskoeffizienten \varepsilon = 0.1 betrachtet werden, der im Strömungskanal quer angeströmt wird. Die Zylinderstirnflächen können bei Berechnung sowohl der konvektiven Wärmeübertragung als auch des Strahlungsaustausches vernachlässigt werden. Für den quer angeströmten Zylinder gilt die mittlere Nußelt-Zahl

\overline {N{u_d}} = 0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } ,\quad 1 < \operatorname{Re} < 4000

Die benötigten Stoffwerte für Luft bei einem Druck von p = 1bar und der Temperatur {T_L} = 1000^\circ C sind gegeben:

Wärmeleitfähigkeit: k = 0,018\frac{W}{{m \cdot K}}
Kinematische Viskosität: \nu = 1,75 \cdot {10^{-4}}\frac{{{m^2}}}{s}

Lösung

Es wird der stationäre Zustand betrachtet. Der Energieverlust durch den Strahlungswärmestrom muss dann gerade durch die Energiezufuhr durch den konvektiven Wärmestrom ausgeglichen werden.

Skizze des Problems:

thermoelement-fehlermessung

a )

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für stationäre Fließprozesse liefert:

\underbrace {\frac{{dU}}{{dt}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}\quad \Rightarrow \quad {\dot Q_K} = {\dot Q_{Str}}

Der konvektive Wärmestrom:

{\dot Q_K} = h \cdot {A_T} \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right)

Der Wärmeübergangskoeffizient muss aus der gegebenen Nußelt-Beziehung bestimmt werden:

\overline {N{u_d}} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_L}}} = 0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } ,\quad 1 < \operatorname{Re} < 4000

Die Reynoldszahl wird mit dem Durchmesser des Thermoelements als charakteristischer Länge gebildet:

{\operatorname{Re} _d} = \frac{{{w_L} \cdot d}}{\nu } = 28,57

Dies liegt im geforderten Bereich, die Nußelt-Beziehung ist also gültig:

h = \frac{{0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } }}{d}{k_L} = \frac{{0.43+0.48\sqrt {28,57} }}{{0,5 \cdot {{10}^{-3}}m}} \cdot 0,018\frac{W}{{m \cdot K}} = 107,84\frac{W}{{{m^2}K}}

Der Wärmestrom durch Strahlung ist:

{\dot Q_{Str}} = {A_{12}} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right),\quad \quad \frac{1}{{{A_{12}}}} = \frac{1}{{{A_1}}}\left[ {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1} \right)} \right]

{A_1} bezeichnet die Oberfläche des inneren Zylinders, also des Thermoelements. {A_2} ist die Oberfläche der Innenseite der umschließenden Versuchskammer. Weil die Fläche {A_2} viel größer als die umschlossene Oberfläche {A_1} des Thermoelements ist, kann der zweite Term in den eckigen Klammern vernachlässigt werden, und man erhält für die Austauschfläche:

{A_2} \gg {A_1}\quad \Rightarrow \quad {A_{12}} = {\varepsilon _1} \cdot A\quad \Rightarrow \quad {\dot Q_{Str}} = \varepsilon \cdot {A_T} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

Dies setzen wir in den ersten Hauptsatz ein:

{\dot Q_K} = {\dot Q_{Str}}\quad \Rightarrow \quad h \cdot {A_T} \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right) = \varepsilon \cdot {A_T} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

h \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right) = \varepsilon \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

Die durch das Thermoelement angezeigte Temperatur erhält man also durch

{T_T} = {T_L}-\frac{{\varepsilon \cdot \sigma }}{h} \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

{T_T} = 1273,15K-\frac{{0,1 \cdot \sigma }}{{107,84\frac{W}{{{m^2}K}}}} \cdot \left( {T_T^4-{{\left( {373,15K} \right)}^4}} \right)

{T_T} = 1273,15K-5,258 \cdot {10^{-11}}\frac{1}{{{K^3}}} \cdot \left( {T_T^4-1,939 \cdot {{10}^{10}}{K^4}} \right)

Iteration liefert mit dem Startwert {\left\{ {{T_T}} \right\}_0} = 1200K:

{\left\{ {{T_T}} \right\}_1} = 1165,1K,\quad {\left\{ {{T_T}} \right\}_2} = 1177,3K,\quad \ldots ,\quad {\left\{ {{T_T}} \right\}_8} = 1174,2K

\quad \Rightarrow \quad \Delta T = {T_L}-{T_T} = 98,9K

b )

{T_T} = {T_L}-\frac{{\varepsilon \cdot \sigma }}{h} \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

{T_T} = 1273,15K-3,155 \cdot {10^{-10}}\frac{1}{{{K^3}}} \cdot \left( {T_T^4-1,939 \cdot {{10}^{10}}{K^4}} \right)

Die Iteration liefert: {\left\{ {{T_T}} \right\}_8} = 983K\quad \Rightarrow \quad \Delta T = {T_L}-{T_T} = 290K