Felder – Topologie und Strömungsfelder

Der Inhalt dieses Artikels ist sowohl für Experimentalphysik als auch für Strömungsmechanik relevant!

Definition: Ein Feld ist eine physikalische Größe, die zu jedem Zeitpunkt an jedem Ort definiert ist.

Beispiele:

$T\left( {\vec r,t} \right)$ : Raum- und zeitabhängiges Temperaturfeld

$n\left( {\vec r,t} \right)$ : Teilchendichte $\left[ {\frac{{at}}{{cm^3 }}} \right] = \frac{F}{V}$

$\rho \left( {\vec r,t} \right)$ : Massendichte $\left[ {\frac{g}{{cm^3 }}} \right] = \frac{m}{V}$

$T\left( {\vec r,t} \right) = T\left( {\vec r} \right)$ : zeitlich konstantes / stationäres Feld

Alle diese Felder haben zu jeder Zeit an jedem Punkt nur einen eindeutigen Wert. Es sind daher skalare Felder.

Nicht-skalare Felder:

$\vec v\left( {\vec r,t} \right)$

Dies ist ein Geschwindigkeitsfeld. An jedem Ort zu jeder Zeit ist ein Vektor gegeben, der die Geschwindigkeit und die Richtung angibt. Das Geschwindigkeitsfeld ist daher, genau wie das elektrische Feld oder das magnetische Feld ein Vektorfeld.

Die Topologie

Eine Topologie ist eine Oberfläche im Raum. Einer zweidimensionalen Fläche wird an jeder x/y-Koordinate eine Höhe z(x,y) zugewiesen.

Gebiet mit zugeordneter Höhe

Linien, die den gleichen Funktionswert in x-Richtung haben, können auf dem Gebiet als ISO-Linien dargestellt werden. Sie entsprechen den Höhenlinien auf einer Landkarte:

ISO-Linien entsprechen Landkarte

Je dichter die Höhenlinien aneinander liegen, desto steiler ist das Gelände. Der steilste Anstieg steht senkrecht auf der Höhenlinie und ist gegeben durch die Änderung des z-Wertes des Feldes in x- und y-Richtung.
Die Funktion für die Steigung lautet:

${\text{grad }}z = \left( {\frac{{dz}} {{dx}},\frac{{dz}} {{dy}}} \right)$

Allgemein gilt für ein dreidimensionales Feld:

${\text{grad }}U = \left( {\frac{{dU\left( {\vec r,t} \right)}} {{dx}},\frac{{dU\left( {\vec r,t} \right)}} {{dy}},\frac{{dU\left( {\vec r,t} \right)}} {{dz}}} \right)$

Der Gradient “grad U” ist ein Vektorfeld, das nur gebildet werden kann, wenn U ein skalares Feld ist. grad U gibt die Größe der maximalen Steigung an und steht senkrecht auf den Äquipotenziallinien, also auf den Linien für die gilt:

$U\left( {\vec r,t} \right) = const$

Strömungsfelder

Jedem Punkt $\vec r$ im Raum wird eine Geschwindigkeit $\vec v$ und eine Richtung zugewiesen. Außerdem wird jedem Punkt eine Teilchendichte $n\left( {\vec r} \right)$ zugewiesen. Hieraus berechnet sich die Teilchenstromdichte j:

$\vec j = n\left( {\vec r} \right) \cdot \vec v\left( {\vec r} \right)$

Entsprechend ergibt sich die Einheit für j (at = Anzahl der Atome, wird durch 1 ersetzt):

$\left[ j \right] = \frac{{at}} {{m^3 }} \cdot \frac{m} {s} = \frac{{at}} {{m^2 s}} = \frac{1} {{m^2 s}}$

Wir betrachten eine plane rechteckige Fläche A, durch die die Teilchen strömen sollen. Es soll die Anzahl der Teilchen bestimmt werden, die in einem Zeitabschnitt dt durch die Fläche A strömen. Hierfür wird die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen benutzt:

$dN = n \cdot V = n \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot dt \cdot \cos \alpha \cdot A$

Erklärung: Die Teilchen bewegen sich im Mittel lokal alle mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Da sie in der Zeit dt den Weg ds zurücklegen, strömen genau die Teilchen in dt durch A, die sich vor dem Intervall dt auf die Fläche A zubewegt haben und in Bewegungsrichtung weniger als ds von ihr entfernt waren. Die möglichen Startpunkte der Teilchen kann man durch das Volumen V (siehe Bild) darstellen. Multipliziert man dieses Volumen mit der Teilchendichte n, erhält man die gewünschte Anzahl dN.
Das Volumen berechnet man mit der Formel:

Volumen = Grundseite mal Höhe

Die Grundseite ist hier $A$ , die Höhe ist $ds \cdot \cos(\alpha)$
Die Strecke $ds$ berechnet man mit der Formel $s = v \cdot t$ , wobei v der Betrag der mittleren Geschwindigkeit und t das Zeitintervall dt ist.

Der Teilchenstrom berechnet sich wie folgt:

$I_{at} = \frac{{dN}}{{dt}} = n \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \cos \alpha \cdot A = n \cdot \vec v \cdot \vec A$

$\vec A$ ist der Normalenvektor der Fläche A. Seine Länge entspricht im Betrag dem Flächeninhalt von A. So erklärt sich der letzte Schritt in der Gleichung für I_at, denn das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors und des Flächen-Normalenvektors ist definiert als:

$\left| {\vec v} \right| \cdot \cos \alpha \cdot A = \vec v \cdot \vec A$

Für eine beliebig gekrümmte und geformte Fläche A gilt:

$I_{at} = \iint {n\left( {\vec r} \right)\vec v\left( {\vec r} \right) \cdot \vec {dA} } = \iint {\vec j\left( {\vec r} \right)} \cdot \vec {dA}$

Geschlossene Oberfläche

Wenn in einem geschlossenen Volumen keine Quellen oder Senken vorhanden sind, gilt j_at = 0. Eine Strömung bei einer geschlossenen Oberfläche berechnet man mit einem geschlossenen Integral:

Beispiel: Trichter

Konvention: Die Normalenvektoren der Oberflächen zeigen immer nach außen.

Berechnung der Strömung:

Die Skalarprodukte sind hier trivial, da die Geschwindigkeitsvektoren an der Eingangs- und Ausgangsfläche parallel zu den Normalenvektoren der Oberflächen liegen und innerhalb des Trichters senkrecht zur Mantelfläche stehen:

$\vec v\left( {\vec r_1 } \right) \cdot \vec A_1 = v\left( {\vec r_1 } \right)A_1 \cos \alpha = v\left( {\vec r_1 } \right)A_1 \cos \left( {-\pi } \right) = -v\left( {\vec r_1 } \right)A_1$

$\vec v\left( {\vec r} \right) \cdot \vec {dA} = v\left( {\vec r} \right)dA\cos \left( {\frac{\pi } {2}} \right) = 0$

$\vec v\left( {\vec r_2 } \right) \cdot \vec A_2 = v\left( {\vec r_2 } \right)A_2 \cos \alpha = v\left( {\vec r_2 } \right)A_2 \cos \left( \pi \right) = v\left( {\vec r_2 } \right)A_2$

Es folgt:

Daraus ergeben sich die beiden wichtigen Beziehungen:

$v\left( {\vec r_1 } \right)A_1 = v\left( {\vec r_2 } \right)A_2$

$n\left( {\vec r_1 } \right) = n\left( {\vec r_2 } \right)$

Quellen oder Senken

Falls es im System Quellen oder Senken gibt, gilt der Gauß’sche Satz:

Produktion von Teilchen

Wir betrachten ein radialsymmetrisches Strömungsfeld. Da Teilchen produziert werden, ist der Teilchenstrom I_at größer als 0.

Für den Teilchenstrom gilt:

Die Teilchenstromdichte $\vec j$ ist parallel zu $\vec {dA}$ , daher vereinfacht sich erneut das Skalarprodukt. Es gilt außerdem $\vec j\left( {\vec r} \right) = const$ für alle $\vec r$ mit $\left| {\vec r} \right| = r$ . Daher kann das $j\left( {\vec r} \right)$ aus dem Integral vorgezogen werden:

Das Oberflächenintegral einer Kugel hat als Lösung:

Es gilt somit:

$I_{at} = \left| {\vec j\left( {\vec r} \right)} \right| \cdot 4\pi r^2 \Leftrightarrow \vec j\left( {\vec r} \right) = \frac{{I_{at} }} {{4\pi r^2 }} \Leftrightarrow j = \frac{{I_{at} }} {{4\pi r^2 }} \cdot \frac{{\vec r}} {r}$

Mathematical Engineering