01.1 – Treibstoffverbrauch, Ziolkowsky-Gleichung

 

Wie groß ist der Treibstoffverbrauch {m_T} einer einstufigen Rakete im kräftefreien Raum, wenn wir eine Masse (Nutzlast-, Struktur-, Motorenmasse etc.) von 200kg von null auf die dreifache Austrittsgeschwindigkeit \left({3\cdot{c_e}}\right) beschleunigen?

Lösung

Gegeben:

Gesamtmasse der Rakete ohne Treibstoff:

{m_S}=200kg, also

Geschwindigkeitszuwachs:

\Delta v=3\cdot{c_e}

Die Größe {c_e} bezeichnet die mittlere Austrittsgeschwindigkeit (bzw. effektive Austrittsgeschwindigkeit). Im Gegensatz zur idealen Austrittsgeschwindigkeit {w_e}\left({=:{c_{e,ideal}}}\right) kann die effektive Austrittsgeschwindigkeit auch Verluste beinhalten.

Es gilt per Definition:

{c_e}:=\frac{F}{{\dot m}}

Gesucht:

Treibstoffmasse {m_T}

Für eine beliebige Anzahl n von Schubperioden einer einzigen Rakete gilt:

\Delta{v_{ch}}=\sum\limits_n{\left|{\Delta{v_n}}\right|}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_b}}}}\right)

wobei {m_0} die Anfangs- und {m_b} die Endmasse (Brennschlussmasse) der einstufigen Rakete für die Gruppe von n aufeinander folgenden Schubperioden darstellt. Da nicht die Flugbahn selbst, sondern nur der gesamte Antriebsbedarf errechnet wird, werden in der Summe \sum{\left|{\Delta v}\right|} unabhängig von der Richtung nur die absoluten Werte aller Geschwindigkeitsänderungen eingesetzt. Das ist sinnvoll, da für jedes \Delta v eine positive Treibstoffmenge verbraucht wird. Die Summe \sum{\left|{\Delta v}\right|} wird als charakteristische Geschwindigkeitsänderung \Delta{v_{ch}} bezeichnet.

In unserem Fall haben wir nur eine Schubperiode (n=1). Damit bezeichnet unsere charakteristische Geschwindigkeitsänderung die Gesamtänderung der Geschwindigkeit der Rakete während des Flugs.

\Delta v=\Delta{v_{ch}}=3\cdot{c_e}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_b}}}}\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_S}+{m_T}}}{{{m_S}}}}\right)

\Rightarrow \quad 3=\ln\left({\frac{{{m_S}+{m_T}}}{{{m_S}}}}\right)\quad \Rightarrow\quad {e^3}={e^{\ln\left({\frac{{{m_S}+{m_T}}}{{{m_S}}}}\right)}}=\frac{{{m_S}+{m_T}}}{{{m_S}}}

\Rightarrow\quad {m_T}={e^3}\cdot{m_S}-{m_S}={m_S}\cdot\left({{e^3}-1}\right)=200kg\cdot\left({{e^3}-1}\right)=\underline{\underline{3817kg}}

\mathcal{T}\mathcal{H}