Aufgabe 4.3 – Tustin-Methode

 

Gegeben ist ein kontinuierlicher Regler (“realer PD-Regler”) mit der Übertragungsfunktion

C\left( s \right) = \frac{{U\left( s \right)}}{{E\left( s \right)}} = V \cdot \left( {1+\frac{{{V_D} \cdot s}}{{1+{T_n} \cdot s}}} \right)

Bestimmen Sie das näherungsweise äquivalente, diskrete Regelgesetz der Form {u_{k+1}} = \ldots gemäß der Tustin-Methode.

Lösung

C\left( s \right) = \frac{{U\left( s \right)}}{{E\left( s \right)}} = V \cdot \left( {1+\frac{{{V_D} \cdot s}}{{1+{T_n} \cdot s}}} \right)

\Rightarrow \quad C\left( s \right) = V \cdot \left( {\frac{{1+{T_n} \cdot s+{V_D} \cdot s}}{{1+{T_n} \cdot s}}} \right)

Nun ersetzen wir gemäß der Tustin Methode:

s \to \frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}

Hiermit folgt:

C\left( z \right) = V \cdot \left( {\frac{{1+{T_n} \cdot \frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}+{V_D} \cdot \frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}}}{{1+{T_n} \cdot \frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}}}} \right)

\Rightarrow \quad C\left( z \right) = V \cdot \frac{{T\left( {z+1} \right)+2\left( {z-1} \right)\left( {{T_n}+{V_D}} \right)}}{{T\left( {z+1} \right)+2{T_n}\left( {z-1} \right)}} = \frac{{U\left( z \right)}}{{E\left( z \right)}}

Durch Umformung erhalten wir:

V \left[ {z\left( {T+2{T_n}+2{V_D}} \right)+\left( {T-2{T_n}-2{V_D}} \right)} \right]E\left( z \right)

= U\left( z \right)\left[ {z\left( {T+2{T_n}} \right)+\left( {T-2{T_n}} \right)} \right]

\bullet - \circ

\Rightarrow \quad {u_{k+1}} = \frac{{V \cdot \left[ {{e_{k+1}}\left( {T+2{T_n}+2{V_D}} \right)+{e_k}\left( {T-2{T_n}-2{V_D}} \right)} \right]-{u_k}\left( {T-2{T_n}} \right)}}{{T+2{T_n}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}