U 00 – Vorbetrachtungen und Grundlagen

 
  • Ein System sei sowohl in Wurzelorts-Normalform als auch in Bode-Normalform gegeben:
    G\left( s \right) = \underbrace {k \cdot \frac{{s+\alpha a}}{{s+a}}}_{WO-Normalform} = \underbrace {\alpha k}_K \cdot \frac{{\frac{s}{{\alpha a}}+1}}{{\frac{s}{a}+1}} = \underbrace {K \cdot \frac{{1+\frac{s}{{\alpha a}}}}{{1+\frac{s}{a}}}}_{Bode-Normalform}
    Dabei gilt:

    \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right) = K,\quad \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } G\left( s \right) = k,\quad K = k\alpha

    Dabei steht K für die statische Verstärkung (Bode-Verstärkung) und k für die Wurzelorts-Verstärkung. Wenn α negativ ist tauschen K und k die Vorzeichen!

  • Der Endwertsatz der Laplace-Transformation lautet:

    \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot F\left( s \right)

    Wir bekommen also den Grenzwert im Zeitbereich durch die Bestimmung eines Grenzwertes im Frequenzbereich. Dies funktioniert natürlich nur, wenn der Grenzwert {f_\infty } im Zeitbereich überhaupt existiert. Wenn er nicht existiert, kann es trotzdem sein, dass im Frequenzbereich ein Ergebnis bestimmt werden kann, man muss also vorsichtig sein!

  • Für den Anfangswertsatz der Laplace-Transformation gilt:

    \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s \cdot F\left( s \right)

    falls der Grenzwert {f_0} existiert.

  • Für die Sprungfunktion gilt:

    1\left( t \right) \circ - \bullet \frac{1}{s}

  • Für die Sprungantwort eines Systems mit der Übertragungsfunktion G(s) gilt im Frequenzbereich:

    \boxed{Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot \frac{1}{s}} = K \cdot \frac{{1+\frac{s}{{\alpha a}}}}{{1+\frac{s}{a}}} \cdot \frac{1}{s}

    Wir wenden nun den Endwertsatz der Laplacetransformation an:
    \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot G\left( s \right) \cdot \frac{1}{s} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right) = G\left( 0 \right) = K
    Somit haben wir wieder die statische Verstärkung als Lösung.

  • Durch Rücktransformation der Übertragungsfunktion G(s) erhält man die Gewichtsfunktion g(t):

    G\left( s \right) \bullet - \circ g\left( t \right)

  • Durch Einschränkung der Übertragungsfunktion G\left( s \right) von s = \sigma +j\omega auf s = j\omega erhalten wir den Frequenzgang:

    {\left. {G\left( s \right)} \right|_{s = j\omega }} = G\left( {j\omega } \right)

  • Für den δ-Impuls gilt:

    \delta \left( t \right) \circ - \bullet 1

    Als Systemantwort auf den δ-Puls ergibt sich im Bildbereich:

    {Y_\delta }\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot 1 = G\left( s \right)

    Durch Rücktransformation ergibt sich die Impulsantwort:

    y\left( t \right) = g\left( t \right)

  • Für alle betrachteten Systeme gilt, dass sie linear, zeitinvariant und durch eine gewöhnliche DGL darstellbar sein müssen. Ansonsten ist unter Umständen keine Laplace-Transformation möglich!

  • Aus dem Frequenzgang G(jω) lassen sich der Amplitudengang und der Phasengang berechnen:

    Amplitudengang: A\left( \omega \right): = \left| {G\left( {j\omega } \right)} \right| = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}\left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\}+{{\operatorname{Im} }^2}\left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\}}
    Phasengang: \varphi \left( \omega \right): = \sphericalangle \left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\} = \arctan \left( {\frac{{\operatorname{Im} \left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\}}}{{\operatorname{Re} \left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\}}}} \right)

    Aus einem stationären sinusförmigen Eingangssignal u\left( t \right) = {U_0}\sin \left( {{\omega _0}t} \right) mit der Eingangsamplitude {U_0} wird durch die Übertragungsfunktion G\left( s \right) (asymptotisch stabiles System) ein stationäres Sinussignal am Ausgang: y\left( t \right) = {y_{stat}}\left( t \right) = {U_0}A\left( \omega \right)\sin \left( {{\omega _0}t+\varphi \left( \omega \right)} \right) mit der Ausgangsamplitude {U_0}A\left( \omega \right) und der Phasenverschiebung \varphi \left( \omega \right).

  • In kartesischer Darstellung ergibt sich:

    G\left( {j\omega } \right) = \operatorname{Re} G\left( {j\omega } \right)+j\operatorname{Im} G\left( {j\omega } \right) = u+jv

  • In Polarkoordinatendarstellung / Zeigerdarstellung ergibt sich:

    G\left( {j\omega } \right) = \left| {G\left( {j\omega } \right)} \right| \cdot {e^{j\sphericalangle \left\{ {G\left( {j\omega } \right)} \right\}}} = A\left( \omega \right) \cdot {e^{j\varphi \left( \omega \right)}}

  • Rechenregeln:
    Wir nutzen aus, dass G\left( s \right) = {G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right) ist:

    \Rightarrow \quad G\left( {j\omega } \right) = {G_1}\left( {j\omega } \right) \cdot {G_2}\left( {j\omega } \right)

    Für den Amplitudengang folgt:

    \Rightarrow \quad A\left( \omega \right) = {A_1}\left( \omega \right) \cdot {A_2}\left( \omega \right)

    \Rightarrow \quad \varphi \left( \omega \right) = {\varphi _1}\left( \omega \right)+{\varphi _2}\left( \omega \right)

    Bei logarithmischer Darstellung in y-Richtung werden die Amplituden allerdings auch einfach addiert!

\mathcal{J}\mathcal{K}