U 01.1 – Lokales Minimum längs jeder Richtung

 

Es sei

f:{\mathbb{R}^2} \to \mathbb{R},\quad f\left( {x,y} \right) = 2{x^4}-3{x^2}y+{y^2}.

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  1. Die Funktion f besitzt in \left( {0,0} \right) längs jeder Richtung \vec v ein lokales Minimum, d.h. die Funktion g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\:\:t \mapsto f\left( {t\vec v} \right) besitzt ein lokales Minimum.

  2. Die Funktion f besitzt in \left( {0,0} \right) kein lokales Minimum.

Lösung

Hier zunächst eine Veranschaulichung der Funktion:

u01-funktionsplot

a)

Wir setzen für die Richtung \vec v = \left( {1,\alpha } \right) mit dem Parameter \alpha

f\left( {t\vec v} \right) = f\left( {t,t\alpha } \right) = 2{t^4}-3{t^3}\alpha +{t^2}{\alpha ^2}

\quad \Rightarrow \quad f\left( {t\vec v} \right) = {t^2}\left( {2{t^2}-3t\alpha +{\alpha ^2}} \right)

\quad \Rightarrow \quad f\left( {t\vec v} \right) = {t^2}\left( {2t-\alpha } \right)\left( {t-\alpha } \right)

Dies ergibt bei \alpha = 10 folgenden Funktionsverlauf:

u01-richtungsplot

Für den Extremfall \alpha = 0, also in Richtung von x, ergibt sich:

f\left( {t\vec v} \right) = 2{t^4} bzw. f\left( x \right) = 2{x^4}

u01-richtungsplot-2

Für den Extremfall \alpha \to \infty, also in Richtung von y, ergibt sich als dominanter Verlauf:

f\left( {t\vec v} \right) \to {t^2}{\alpha ^2} bzw. f\left( y \right) = c \cdot {y^2}

u01-richtungsplot-3

Die Funktion f\left( {t\vec v} \right) besitzt also ein lokales Minimum, und somit besitzt auch f in \left( {0,0} \right) längs jeder Richtung \vec v ein lokales Minimum.

b)

Die Funktion f\left( {x,y} \right) können wir faktorisieren:

f\left( {x,y} \right) = \left( {2{x^2}-y} \right)\left( {{x^2}-y} \right)

Offensichtlich ist die Funktion auf den beiden Parabeln y = {x^2} und y = 2{x^2} gleich 0. Zwischen den Parabeln ist sie negativ, außerhalb positiv:

u01-konturplot

\left( {0,0} \right) ist kein lokales Minimum, da in jeder Umgebung von \left( {0,0} \right) Punkte mit positiven und Punkte mit negativen Funktionswerten liegen.