U 01.1 – Positionsbestimmung mit GPS

 
  1. Sie befinden sich auf der Geraden {S_1}-{S_2} am Punkt E und wollen den Abstand {x_0} zu {S_1} bestimmen. Zum Zeitpunkt {t_1} sendet {S_1} eine elektromagnetische Welle ({S_1} sendet mit dieser Welle den Sendezeitpunkt), die Sie zum Zeitpunkt {t_0} empfangen (Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Lichtgeschwindigkeit). Berechnen Sie allgemein die Entfernung {x_0}.

    mess-u01-entfernung-auf-gerade

  2. Das obige Messprinzip setzt voraus, dass Ihre Uhr mit der von {S_1} synchron läuft, was aber im allgemeinen nicht der Fall ist. Wie berechnen Sie den Abstand {x_0}, wenn Sie zusätzlich zum Sender {S_1} zu selben Zeit {t_0} ein Welle vom Sender {S_2} empfangen, die zur Zeit {t_2} abgeschickt wurde (die Uhren von {S_1} und {S_2} laufen synchron)? Wie können Sie damit Ihre Uhr synchronisieren?
  3. Für eine Positionsbestimmung im realen 3-dimensionalen Raum benötigt man zur Bestimmung des Ortes \vec E = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) also die Information von 4 Sendern i mit bekannter Position {\vec S_i} = \left( {{x_i},{y_i},{z_i}} \right) und der Sendezeit {t_i}. Stellen Sie für die Berechnung der Ortskoordinaten von \vec E das Gleichungssystem auf (idealisierte GPS-Gleichungen) und diskutieren Sie die Lösbarkeit bzw. die Lösung(en)!

    mess-u01-positionsbestimmung-im-3d-raum

  4. Sie wollen Ihre Position (Höhe) mit einer Genauigkeit von 1 m bestimmen. Mit welcher Genauigkeit müssen Sie dazu die Signallaufzeiten messen? Beim GPS-System befinden sich die Sender (= Satelliten) in einer Höhe von 20.000 km.

Lösung

a)

mess-u01-entfernung-auf-gerade

Gegeben: {t_1},{t_0}

Gesucht: x = {x_0}

v = \frac{x}{{\Delta t}}\quad \Leftrightarrow \quad x = v \cdot \Delta t = v \cdot \left( {{t_0}-{t_1}} \right)

\underline{\underline {x = c \cdot \left( {{t_0}-{t_1}} \right)}}

b)

Wir haben jetzt die Strecke von der Erde zum Satelliten bestimmt, wir haben aber noch das Problem, dass die Uhren in den Geräten nicht synchron sind. Deswegen verwendet man einen weiteren Satelliten mit folgenden gegebenen Daten:

Gegeben: L
(Bahndaten), {t_1},{t_2}

Gesucht: x,t

L-x = c \cdot \left( {{t_0}-{t_2}} \right)\quad \Rightarrow \quad x = L-c \cdot \left( {{t_0}-{t_2}} \right)

Mit x = c \cdot \left( {{t_0}-{t_1}} \right)
folgt:

c \cdot \left( {{t_0}-{t_1}} \right) = L-c \cdot \left( {{t_0}-{t_2}} \right)

c{t_0}-c{t_1} = L-c{t_0}+c{t_2}

2c{t_0} = L+c{t_2}+c{t_1}

\underline{\underline {{t_0} = \frac{{L+c{t_1}+c{t_2}}}{{2c}}}}

Nun müssen wir noch die Entfernung bestimmen. Mit x = c \cdot \left( {{t_0}-{t_1}} \right)\quad \Leftrightarrow \quad c{t_0} = x+c{t_1} folgt:

x = L-c \cdot \left( {{t_0}-{t_2}} \right)

\Rightarrow \quad x = L-x-c{t_1}+c{t_2}

\Rightarrow \quad 2x = L+c\left( {{t_2}-{t_1}} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {x = \frac{{L+c\left( {{t_2}-{t_1}} \right)}}{2}}}

Unter folgenden Links sind noch weiterführende Erläuterungen zur Signalverschiebung sowie zwei Applets zur Veranschaulichung zu finden:

http://www.kowoma.de/gps/Signalverschiebung.htm

http://www.ottmarlabonde.de/L1/krzkor.Applet1.html

c)

Wir können erkennen, dass wir für eine eindeutige Lösung im Eindimensionalen zwei Sender benötigen, im 2D-Fall werden drei Sender benötigt und im 3D-Fall vier Sender.

Vereinfacht könnte man auch mit drei Sendern auskommen, wenn man die Erde als eine ideale Kugel betrachtet und diese Information mit einbezieht.

Wir gehen für diese Aufgabe nun von vier Satelliten aus, deren Position bekannt ist. Dies führt uns auf ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten:

c\left( {{t_1}-t} \right) = {r_1} = \sqrt {{{\left( {{x_1}-x} \right)}^2}+{{\left( {{y_1}-y} \right)}^2}+{{\left( {{z_1}-z} \right)}^2}}

c\left( {{t_2}-t} \right) = {r_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2}-x} \right)}^2}+{{\left( {{y_2}-y} \right)}^2}+{{\left( {{z_2}-z} \right)}^2}}

c\left( {{t_3}-t} \right) = {r_3} = \sqrt {{{\left( {{x_3}-x} \right)}^2}+{{\left( {{y_3}-y} \right)}^2}+{{\left( {{z_3}-z} \right)}^2}}

c\left( {{t_4}-t} \right) = {r_4} = \sqrt {{{\left( {{x_4}-x} \right)}^2}+{{\left( {{y_4}-y} \right)}^2}+{{\left( {{z_4}-z} \right)}^2}}

Prinzipiell ist dieses Gleichungssystem analytisch eindeutig lösbar. Dabei gibt es aber mehrere Probleme:

  • Es können auch 5 oder mehr Satelliten vorhanden sein, womit man ein überbestimmtes Gleichungssystem erhält.
  • Es können Mess- und Rechenungenauigkeiten auftreten. Man bräuchte also exakte Daten sowie absolut genaue Berechnungen.

Aus diesem Grund wählt man im Normalfall ein iteratives numerisches Verfahren zur Lösung.

d)

Gegeben: h = 20.000\:km,\quad dx = 1\:m

Gesucht: dt

Hinweis: Wir betrachten in diesem Fall nur eine Höhenungenauigkeit. Andernfalls müssten noch Winkelfunktionen, wie sin oder cos mit einbezogen werden.

mess-u01-hoehenungenauigkeit

x = v \cdot t\quad |\frac{d}{{dt}}

\Rightarrow \quad \frac{{dx}}{{dt}} = v = c = \frac{x}{t}

Mit x = h folgt:

\frac{{dh}}{h} = \frac{{dt}}{t}

(Die relative Ortsungenauigkeit entspricht also dem relativen Zeitfehler!)

\Rightarrow \quad \frac{{dh}}{h} = \frac{{1m}}{{20.000km}} = \frac{{1m}}{{20 \cdot {{10}^6}m}} = 5 \cdot {10^{-8}} = \frac{{dt}}{t}

t = \frac{h}{c} = \frac{{2 \cdot {{10}^7}m}}{{3 \cdot {{10}^8}\frac{m}{s}}} = 67ms

dt = \frac{{dh}}{h} \cdot t = 5 \cdot {10^{-8}} \cdot 67ms = 3,3ns

Wir müssen für eine auf einen Meter genaue Ortsbestimmung also eine Messgenauigkeit im Nanosekundenbereich haben. Bei diesen kleinen Zeiträumen spielen auch relativistische Effekte, die zu Zeitdilatationen führen, eine Rolle und sollten berücksichtigt werden. Aufgrund dieser müssen z.B. die Uhren der Satelliten jeden Tag neu gestellt werden.

Alternative Lösung:

h = c \cdot t

\Rightarrow \quad dh = c \cdot dt

\Rightarrow \quad dt = \frac{{dh}}{c} = \frac{{1\:m}}{{299.792.458\:\frac{m}{s}}} = 3,3356 \cdot {10^{-9}}s = \underline{\underline {3,3\:ns}}

In Worten: Um eine Strecke von 1m zurückzulegen benötigt das Licht 3,3ns. Um also einen Fehler von maximal 1m zu bekommen muss die Messapparatur in der Lage sein, Zeiten zu Messen, die im Bereich von 3,3ns liegen. Dabei ist die von uns berechnete Zeit unabhängig von der Höhe, in der sich der Satellit befindet.

Für eine Messgenauigkeit von 1cm:

dh = 1cm

\Rightarrow \quad dt = 33ps

Die Frequenz der Trägerwelle beträgt allerdings 1,5GHz. Eine Periode hat demnach schon eine Dauer von 670ps weswegen man noch die Information der Trägerwelle, an welcher Stelle der Welle man sich gerade befindet, mit hinzunimmt.

mess-u01-frequenz-der-traegerwelle

Mit einem fest stehenden GPS-Empfänger könnte man übrigens auch Positionen im cm-Bereich bestimmen, allerdings nicht mehr in Echtzeit, da die Berechnung sehr aufwändig ist.

Abschließend sei noch auf folgenden Link zum Thema „Fehlerquellen bei GPS“ hingewiesen:

http://www.kowoma.de/gps/Fehlerquellen.htm

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}