A 01 – Schmelzsicherung

 

Folgende Abbildung zeigt eine Schmelzsicherung, wie sie im Kfz-Bereich eingesetzt wird. Der Temperaturverlauf im Draht ist gesucht. Verwenden Sie dazu die vereinfachte Konfiguration, wie in der Skizze dargestellt. Der Drahtdurchmesser D und die Länge L des Drahtes sind gegeben. Die Kontakte sind gegenüber dem Draht groß, sodass ihre Temperatur konstant auf {T_1} > {T_2} bleibt. Vereinfachend wird angenommen, dass der Draht keinen Wärmestrom zur Umgebung abgibt. Der Gleichstrom, der über den Draht fließt sei I und der spezifische elektrische Widerstand \rho \;\left[ {\Omega \;{{\text{m}}^2}/{\text{m}}} \right].

wust-u1-schmelzsicherung

wust-u1-prinzipskizze-schmelzsicherung

Annahme: Keine Temperaturgradienten in radialer Richtung T\left( {r,x} \right) = T\left( x \right).

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Temperaturverlauf im Draht im stationären Zustand mit Hilfe des Superpositionsprinzips. Betrachten Sie hierzu den Temperaturverlauf, hervorgerufen durch die Temperaturen {T_1} und {T_2}, sowie den Temperaturverlauf, hervorgerufen durch den spezifischen Widerstand, gesondert.

Gegeben:

Elektrischer Widerstand: R = \frac{{\rho \cdot L}}{{{A_{Querschnitt}}}}

\rho: spezifischer elektrischer Widerstand

Lösung

Wir betrachten das Problem ohne Konvektion und Entdimensionierung. Dabei müssen wir zwei Probleme überlagern:

I: Wärmeleitung \left( {{T_1} > {T_2}} \right)

II: Wärmequelle {q^*} durch Strom I

Problem I (ohne Quelle)

wust-u1-waermeleitung-verlauf

Randbedingung (RB):

T\left( {x = -L} \right) = {T_1}

T\left( {x = L} \right) = {T_2}

In diesem Fall betrachten wir keine Wärmequelle, d.h. es gibt auch kein {q^*}dV.

Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt:

\frac{{\partial U}}{{\partial t}} = \sum {\dot Q+\sum {{{\dot W}_t}} } +{q^*}dV

Da wir ein stationäres Problem betrachten, gilt \frac{{\partial U}}{{\partial t}} = 0. Wir haben keinen Arbeitsstrom über die Systemgrenze, also \sum {{{\dot W}_t}} = 0. Die Wärmequelle betrachten wir nur im anderen Teilproblem, wir setzen also hier {q^*} = 0.

\Rightarrow \quad 0 = {\dot Q_{L,x}}-{\dot Q_{L,x+dx}}

Taylor-Reihe:

{\dot Q_{L,x+dx}} = {\dot Q_{L,x}}+\frac{1}{{1!}}\frac{{\partial {{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial x}}dx+\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}{{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial {x^2}}}d{x^2}+\frac{1}{{3!}} \ldots

Fourier:

{\dot Q_L} = -k \cdot {A_Q} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial x}}

0 = {{\dot Q}_{L,x}}-{{\dot Q}_{L,x+dx}}\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_{L,x}} = {{\dot Q}_{L,x+dx}}

\Rightarrow \quad 0 = \frac{1}{{1!}}\frac{{\partial {{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial x}}dx+\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}{{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial {x^2}}}d{x^2}+\frac{1}{{3!}} \ldots

\Rightarrow \quad 0 = -\frac{1}{{1!}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {-kA\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)dx-\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {-kA\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)d{x^2}-\frac{1}{{3!}} \ldots d{x^3}- \ldots \qquad |:dx

\Rightarrow \quad 0 = -\frac{1}{{1!}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {-kA\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)-\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {-kA\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)dx-\frac{1}{{3!}} \ldots d{x^2}- \ldots \qquad |dx \to 0

\Rightarrow \quad 0 = -\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {-kA\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = kA\frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}\qquad |:kA

\Rightarrow \quad 0 = \frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}

Die Wärmeleitfähigkeit und der Querschnitt haben also keinen Einfluss auf den Temperaturverlauf.

Nun integrieren wir:

0 = \frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}\qquad \left| {\int {dx} } \right.

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{dT}}{{dx}}+{c_1}\qquad \left| {\int {dx} } \right.

\Rightarrow \quad T\left( x \right) = -{c_1} \cdot x+{c_2}

R{B_I}:

T\left( {x = -L} \right) = {T_1} = {c_1}L+{c_2}\quad \Rightarrow \quad {c_2} = {T_1}-{c_1}L

T\left( {x = L} \right) = {T_2} = -{c_1}L+{c_2} = -{c_1}L+{T_1}-{c_1}L\quad \Rightarrow \quad {c_1} = \frac{{{T_1}-{T_2}}}{{2L}}

\Rightarrow \quad {c_2} = \frac{{{T_1}+{T_2}}}{2}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{T_I}\left( x \right) = \frac{{{T_2}-{T_1}}}{{2L}}x+\frac{{{T_1}+{T_2}}}{2}}}

Problem II (mit Quelle)

wust-u1-waermequelle

Da die Temperatur auf dem Rand als Konstant angenommen werden soll folgt:

Randbedingung:

T\left( {x = -L} \right) = T\left( {x = L} \right) = 0

Mit dem 1. HS folgt:

\frac{{\partial U}}{{\partial t}} = \sum {\dot Q+\sum {{{\dot W}_t}} } +{q^*}dV

\Rightarrow \quad 0 = {{\dot Q}_{L,x}}-{{\dot Q}_{L,x+dx}}+{q^*}dV

{q^*}dV = \frac{{{{\dot Q}^*}}}{V}dV = \frac{{{I^2}\frac{{\rho \cdot L}}{A}}}{{A \cdot L}}dx\;A = \frac{{{I^2} \cdot \rho }}{A}dx

{{\dot Q}^*} = P = U \cdot I = {I^2} \cdot R = {I^2}\frac{{\rho \cdot L}}{A};\quad U = R \cdot I

Wir wenden nun wieder Taylor-Reihe und Fourier an:

0 = {{\dot Q}_{L,x}}-{{\dot Q}_{L,x+dx}}+{q^*}dV

\Rightarrow \quad 0 = \frac{1}{{1!}}\frac{{\partial {{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial x}}dx+\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}{{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial {x^2}}}d{x^2}+\frac{1}{{3!}} \ldots +\frac{{{I^2}\rho }}{A}dx

\vdots

\Rightarrow \quad 0 = kA\frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}+\frac{{{I^2}\rho }}{A}\qquad |:kA

\Rightarrow \quad 0 = \frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}+\underbrace {\frac{{{I^2}\rho }}{{k{A^2}}}}_{: = \chi }

\Rightarrow \quad -\chi = \frac{d}{{dx}}\frac{{dT}}{{dx}}\qquad \left| {\int {dx} } \right.

\Rightarrow \quad -\chi x = \frac{{dT}}{{dx}}+{c_1}\qquad \left| {\int {dx} } \right.

\Rightarrow \quad -\frac{1}{2}\chi {x^2}-{c_1}x+{c_2} = T\left( x \right)

Zweite Randbedingung:

T\left( {x = L} \right) = 0 = -\frac{1}{2}\chi {L^2}-{c_1}L+{c_2}\quad \Rightarrow \quad {c_2} = \frac{1}{2}\chi {L^2}+{c_1}L

T\left( {x = -L} \right) = 0 = -\frac{1}{2}\chi {L^2}+{c_1}L+{c_2}

= -\frac{1}{2}\chi {L^2}+{c_1}L+\frac{1}{2}\chi {L^2}+{c_1}L = 2{c_1}L

\Rightarrow \quad {c_1} = 0

\Rightarrow \quad {c_2} = \frac{1}{2}\chi {L^2}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{T_{II}}\left( x \right) = \frac{1}{2}\chi \left( {{L^2}-{x^2}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{{I^2}\rho }}{{k{A^2}}}\left( {{L^2}-{x^2}} \right)}}

wust-u1-waermequelle-verlauf

Nun fassen wir beide Ergebnisse zusammen:

\underline{\underline {T\left( x \right) = {T_I}\left( x \right)+{T_{II}}\left( x \right) = \frac{{{T_2}-{T_1}}}{{2L}}x+\frac{{{T_1}+{T_2}}}{2}+\frac{1}{2}\frac{{{I^2}\rho }}{{k{A^2}}}\left( {{L^2}-{x^2}} \right)}}

Beispiel:

{T_1} = 303,15\;{\text{K}};\quad {T_2} = 293,15\;{\text{K}};\quad L = 0,01\;{\text{m}};\quad I = 10\;{\text{A}}

\rho = 1,6 \cdot {10^{-2}}\frac{{\Omega \cdot {\text{m}}{{\text{m}}^2}}}{{\text{m}}};\quad A = 0,0001\;{{\text{m}}^2};\quad k = 400\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}

wust-u1-temperaturverlauf-schmelzsicherung