Folgende Abbildung zeigt eine Schmelzsicherung, wie sie im Kfz-Bereich eingesetzt wird. Der Temperaturverlauf im Draht ist gesucht. Verwenden Sie dazu die vereinfachte Konfiguration, wie in der Skizze dargestellt. Der Drahtdurchmesser und die Länge
des Drahtes sind gegeben. Die Kontakte sind gegenüber dem Draht groß, sodass ihre Temperatur konstant auf
bleibt. Vereinfachend wird angenommen, dass der Draht keinen Wärmestrom zur Umgebung abgibt. Der Gleichstrom, der über den Draht fließt sei
und der spezifische elektrische Widerstand
.
Annahme: Keine Temperaturgradienten in radialer Richtung .
Aufgabe:
Bestimmen Sie den Temperaturverlauf im Draht im stationären Zustand mit Hilfe des Superpositionsprinzips. Betrachten Sie hierzu den Temperaturverlauf, hervorgerufen durch die Temperaturen und
, sowie den Temperaturverlauf, hervorgerufen durch den spezifischen Widerstand, gesondert.
Gegeben:
Elektrischer Widerstand:
: spezifischer elektrischer Widerstand
Lösung
Wir betrachten das Problem ohne Konvektion und Entdimensionierung. Dabei müssen wir zwei Probleme überlagern:
I: Wärmeleitung
II: Wärmequelle durch Strom
Problem I (ohne Quelle)
Randbedingung (RB):
In diesem Fall betrachten wir keine Wärmequelle, d.h. es gibt auch kein .
Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt:
Da wir ein stationäres Problem betrachten, gilt . Wir haben keinen Arbeitsstrom über die Systemgrenze, also
. Die Wärmequelle betrachten wir nur im anderen Teilproblem, wir setzen also hier
.
Taylor-Reihe:
Fourier:
Die Wärmeleitfähigkeit und der Querschnitt haben also keinen Einfluss auf den Temperaturverlauf.
Nun integrieren wir:
:
Problem II (mit Quelle)
Da die Temperatur auf dem Rand als Konstant angenommen werden soll folgt:
Randbedingung:
Mit dem 1. HS folgt:
Wir wenden nun wieder Taylor-Reihe und Fourier an:
Zweite Randbedingung:
Nun fassen wir beide Ergebnisse zusammen:
Beispiel: