U 01.2 – Atomuhr

 
  1. In einer Cs-Atomuhr wird der Cs-Ofen auf etwa 100°C geheizt. Die (anfangs polarisierten) Cs-Atome legen ein der Ramsey-Resonanz-Apparatur eine Wegstrecke L = 1\:m zurück. Berechnen Sie für die Cs-Atomuhr die prinzipiell erreichbare Breite des Resonanzpeaks des 6{S_{1/2}}-Hyperfeinübergangs \left( {F = 3,\:{m_f} = 0} \right)\quad \to \quad \left( {F = 4,\:{m_f} = 0} \right) von ^{133}Cs mit {f_0} = 9,192631770 \cdot {10^9}Hz. Gehen Sie davon aus, dass alle Cs-Atome den Wert E = \frac{1}{2}kT der mittleren Energie eines einatomigen Gases haben.
  2. In einer Fontänen-Atomuhr wird den Cs-Atomen per Laserkühlung in einer Magneto-optischen Falle so viel Energie entzogen, dass ihre Temperatur T = 1\:\mu K entspricht. Wie lange verweilt ein Cs-Atom durchschnittlich in der Fontänesäule der Höhe l = 0.85\:m unter Einfluss der Schwerkraft? Um wie viel besser können Sie damit die Breite des Resonanzpeaks bestimmen?

Lösung

a)

Die wichtigsten Bestandteile einer Atomuhr:

mess-u01-caesium-atomuhr

^{133}Cs: Cäsium hat eine exakte Schwingungsperiode und eine niedrige Schmelz- / Siedetemperatur und muss daher nicht stark erhitzt werden. Auch die Wärmebewegung ist minimal. Eine Temperaturbewegung würde eine Dopplerverschiebung verursachen (wie bei der Sirene eines vorbeifahrenden Einsatzfahrzeugs).
Das Cäsium wird auf 100°C also 373,15K erhitzt.

Im ersten Magnetfeld werden die Atome nach ihren Spins sortiert. Vergleiche dazu den Stern-Gerlach-Versuch. Dadurch gelangen nur die Atome mit dem gewünschten Spin („down-spin“) in den Resonator. Wenn dieser exakt auf die Resonanzfrequenz {f_0} der Cäsiumatome eingestellt ist, dann werden alle Atome angeregt, vom zweiten Magneten abgelenkt und kommen schließlich an einem der Detektoren an. Wenn die Frequenz von der optimalen Frequenz abweicht, dann werden Atome im Analysebereich auch zum anderen Detektor abgelenkt, was dazu führt, dass die Eingangsfrequenz korrigiert werden muss.
Die am Resonator anliegende Frequenz wird schließlich an eine Uhr weitergeleitet.

Bei alledem muss man sich überlegen welche Baulängen für den Resonator empfehlenswert sind, da sich die Wellenlänge im Zentimeterbereich bewegt, sollte der Resonanzofen auch in dieser Größenordnung liegen.

Siehe dazu auch die Folie über die Ramsey-Kavität. Wenn die richtige Frequenz getroffen wurde, dann kommt es zu einer stehenden Welle in der Apparatur, wenn die Frequenz nicht passt, dann kommt es zu einer Unschärfe.

Wir wollen jetzt berechnen wie genau man diese Unschärfe berechen kann. Es gilt laut Aufgabenstellung:

{E_{kin}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{3}{2}kT\quad \Rightarrow \quad v = \sqrt {\frac{{3kT}}{m}}

Wir wollen nun die Zeit bestimmen, die das Teilchen zwischen den Kavitäten verweilt.

\Delta t = \frac{L}{v} = \sqrt {\frac{{m{L^2}}}{{3kT}}}

Für L=1m wären dies also:

\Delta t = \sqrt {\frac{{m{L^2}}}{{3kT}}} = \sqrt {\frac{{133 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{-27}}kg \cdot {{\left( {1\:m} \right)}^2}}}{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{-23}} \cdot 373,15\:K}}} = \underline{\underline {3,78\:ms}}

Nach der Heisenberg’schen Energie-Zeit-Unschärferelation gilt:

\Delta E \cdot \Delta t \approx h

E = h \cdot f

\Rightarrow \quad \Delta \left( {h \cdot f} \right) \cdot \Delta t = h

\Rightarrow \quad \Delta f \cdot \Delta t = 1

\Rightarrow \quad \Delta f = \frac{1}{{\Delta t}} = \sqrt {\frac{{3kT}}{{m{L^2}}}} = \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{-23}}\frac{J}{K} \cdot 373K}}{{133 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{-27}}kg \cdot 1\:{m^2}}}} = 264\frac{1}{s} = \underline{\underline {264\:Hz}}

Die absolute Frequenzunschärfe und somit die Breite des Resonanzpeaks beträgt also aufgrund der Heisenberg’schen Energie-Zeit-Unschärferelation etwa 264 Hz.

mess-u01-resonanzpeak

(Wichtig: In der Klausur wird auch stark auf Einheiten geachtet! Man soll also jedes Mal eine Einheitenbetrachtung durchführen!)

Die relative Frequenzunschärfe ergibt sich somit zu:

\frac{{\Delta f}}{{{f_0}}} = \frac{{264Hz}}{{9,19 \cdot {{10}^9}Hz}} = 2,87 \cdot {10^{-8}}

Bemerkung:
Man hat also eine gewisse Breite des Bereichs vom Peak, die eigentliche Spitze des Peaks kann allerdings deutlich genauer bestimmt werden \left( { \approx {{10}^{-13}}\ldots{{10}^{-14}}} \right).

b)

mess-u01-fontainen-caesium-atomuhr

Bei dieser Aufgabe handelt es sich einfach um einen freien Fall nach Galileo.
Mit der Fallzeit {t_f} und l = \frac{1}{2}gt_f^2 folgt:

\Delta t = 2 \cdot {t_f} = 2 \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot l}}{g}} = 2 \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 0,85\:m}}{{9,81\frac{m}{{{s^2}}}}}} = \underline{\underline {0,83\:s}}

Nach Heisenberg folgt wieder:

\Delta f = \frac{1}{{\Delta t}} = \frac{1}{{0,83s}} = \underline{\underline {1,2\:Hz}}

\frac{{\Delta f}}{f} = \frac{{1,2\:Hz}}{{9,19 \cdot {{10}^9}Hz}} = \underline{\underline {1,3 \cdot {{10}^{-10}}}}

Die Peakposition selbst lässt sich allerdings wieder wesentlich genauer bestimmen \left( { \approx {{10}^{-15}}} \right).

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U 01.2 – Atomuhr”

Es fehlt die komplette Aufgabe b)

Wurde ergänzt :)

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