U 01a – Bode-Diagramm, Nyquist-Ebene

 

Gegeben ist das Bode-Diagramm eines linearen zeitinvarianten Systems:

rt-u01a-bodediagramm-amplitudengang

rt-u01a-bodediagramm-phasengang

Aufgaben:

  1. Geben Sie die Übertragungsfunktion an. Benutzen Sie dazu die erkennbaren Knickpunkte der Asymptoten des Amplitudenganges. Die Bodeverstärkung ist in diesem Beispiel bereits angegeben.

  2. Schließen Sie den Kreis um das System mit einer Kreisschließungsverstärkung von K = 0,5 (d.h. die 0dB-Linie bleibt erhalten). Lesen Sie Amplituden- und Phasenreserve ab.

  3. Übertragen Sie das gesamte Ergebnis qualitativ in die Nyquist-Ebene.

Lösung

a) Übertragungsfunktion

Was wir an dem Diagramm ablesen können:

  • 0 dB für K = 0.5

  • Die Phase läuft am Ende asymptotisch gegen 270°. Daraus folgt, dass wir einen Polüberschuss von 3 haben müssen, also z.B. vier Pole und eine Nullstelle oder fünf Pole und zwei Nullstellen, denn:
    \mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } \varphi = -\frac{\pi }{2}\underbrace {\left( {n-m} \right)}_{Pol\ddot uberschuss}

  • Die Amplitude beginnt mit einem Abfall (von 20 dB / Dekade) d.h. es muss sich um einen Integrierer handeln.

  • Wir bestimmen nun die Null- und Polstellen. Das macht man wie folgt: Man zeichnet zuerst unten links den Pol bei 0 ein. Diesen kennen wir, da die Übertragungsfunktion des Integrierers ein {s^{-1}} enthält. Zudem gilt:
    Bei einem Pol im Ursprung beträgt die Phase dort -90°. Bei einer Nullstelle +90°.

  • Nun werfen wir einen Blick auf die schwarzen Asymptoten. Vom Start aus ist die Steigung negativ, und zwar mit 20 dB pro Dekade. Wir schauen nun beim ersten Knick. Die Asymptote ist dort bei einer Kreisfrequenz von 0,2 Hz. Der Knick geht nach links, d.h. dort ist eine Nullstelle. Der nächste Knick ist bei 1 Hz. Dieser Knick geht nach unten, d.h. dort ist eine Polstelle. Auch bei den nächsten beiden Knicken bei 2 Hz und 5 Hz befinden sich Polstellen. Bei jedem Knick nach rechts ändert sich die Steigung um -20dB, bei jedem Knick nach links um +20 dB. Am Schluss haben wir also:

    \underbrace {-20\:dB}_{Start}+\underbrace {20\:dB}_{links}\underbrace {-20\:dB}_{rechts}\underbrace {-20\:dB}_{rechts}\underbrace {-20\:dB}_{rechts} = \underbrace {-60\:dB}_{Ende}

    Pol: Rechtsknick, Nullstelle: Linksknick
    Der Amplitudenverlauf endet also bei der hochfrequenten Asymptote mit 60 dB Abfall pro Dekade.

  • Die Asymptote eines Integrierers fällt mit -20 dB pro Dekade ab und geht bei einer Kreisfrequenz von 1Hz durch die 0dB Linie. Wenn die Kurve nicht bei 1Hz durch 0 dB geht, sondern wie in diesem Fall bei 0,5 dB, dann erkennen wir daran, dass nicht K = 1 gilt, sondern K = 0,5. Wenn wir nun die Kurve für ein anderes K brauchen, z.B. K = 50, müssen wir einfach nur die 0 dB Linie verschieben (in diesem Fall nach unten, bis die Tangente bei 50 durch die Nulllinie geht.

rt-u01a-bodediagramm-amplitudengang-phasengang-1

Daraus folgt nun für die Übertragungsfunktion in Bode-Normalform:

G\left( s \right) = \underbrace {0,5}_K\frac{{\left( {1+\frac{s}{{0,2}}} \right)}}{{s\left( {1+s} \right)\left( {1+\frac{s}{2}} \right)\left( {1+\frac{s}{5}} \right)}}

Für die Amplitude wissen wir:

\omega \to 0:\quad {\left. {A\left( \omega \right)} \right|_{dB}} = {\left. K \right|_{dB}}-20\lg \omega

b) Schließen des Kreises

Durch „Schließen des Kreises“ erhalten wir die Durchtrittsfrequenz, sowie die Amplituden- und Phasenreserve.

Für den Phasenrand bzw. die Phasenreserve müssen wir zunächst die Durchtrittsfrequenz bestimmen. Für die Durchtrittsfrequenz ωD muss gelten:

\left| {\underbrace {KG\left( {j\omega } \right)}_{{G_0}\left( {j\omega } \right)}} \right|\mathop = \limits^! 1\quad \Leftrightarrow \quad {\left| {KG\left( {j\omega } \right)} \right|_{dB}}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow {\omega _D} \approx {\text{1}}{\text{,6}}\:Hz

Daraus erhalten wir:

\sphericalangle \left\{ {KG\left( {j{\omega _D}} \right)} \right\} = -120^\circ > -180^\circ \quad \Rightarrow \quad stabiles\:System

Damit lässt sich nun auch der Phasenrand bzw. die Phasenreserve bestimmten:

{\phi _R} = \sphericalangle \left\{ {KG\left( {j{\omega _D}} \right)} \right\}+180^\circ = -120^\circ +180^\circ = \underline{\underline {60^\circ }}

Für die Bestimmung der Amplitudenreserve muss gelten:

\sphericalangle \left\{ {KG\left( {j\omega } \right)} \right\}\mathop = \limits^! -180^\circ = -\pi \quad \Rightarrow \quad {\omega _{180^\circ }} = 4\:Hz

\Rightarrow \quad A\left( {{\omega _{180^\circ }}} \right) = -13\:dB\quad

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{{\left. {{A_R}} \right|}_{dB}} = 13dB \overset{\wedge}{=}4,5}}

rt-u01a-bodediagramm-amplitudengang-phasengang-2

c) Nyquist-Ebene

Bei einem normalen P{T_n} System kreist die Nyquist-Ortskurve um den Ursprung. Bei einem einfachen Integrierer fängt die Kurve bei -90° an, bei einem 2-fachen Integrierer bei -180°:

rt-u01a-ptn-integrierer

Wir übertragen nun das gegebene System in eine Ortskurve. Dabei starten wir bei -120° bzw. {\phi _R} = 60^\circ mit der Phasenreserve auf dem Einheitskreis.

Dort wo der eingezeichnete Winkel den Einheitskreis (die 0 dB-Linie) schneidet, befindet sich die Durchtrittsfrequenz ωD.

Die Amplitudenreserve befindet sich in -180°-Richtung und wird mit einem Betrag von\frac{1}{{{A_R}}} eingezeichnet.

rt-u01a-nyquist-ortskurve

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}