U 02.2 – Zeitverhalten eines Hochpass-Messgliedes (Teil 1)

 

mess-u02-schaltbild-hochpass-messglied

Gegeben ist die Schaltung aus Abb. 1 zusätzlich müssen nun auch die Ströme {I_C},{I_R} und {I_A} betrachtet werden.

  1. Ermitteln Sie die Differentialgleichung für {U_a}\left( t \right), wenn der Ausgang nicht belastet wird \left( {{I_A} = 0\:A} \right).
  2. Bestimmen Sie die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes. Lösen Sie dazu die DGL für den Fall, dass sich die Eingangsspannung {U_e} zur Zeit t = 0 sprungförmig von {U_e}\left( {t = 0} \right) = 0 auf {U_e}\left( {t > 0} \right) = {U_0} ändert.

Lösung

a)

Zunächst folgt das Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen nach Kirchhoff (vgl. ET):

\sum {{I_{zu}}\left( t \right)} = \sum {{I_{ab}}\left( t \right)}

\sum {U\left( t \right) = 0}

{I_c}\left( t \right) = {I_R}\left( t \right)

{U_e}\left( t \right) = {U_c}\left( t \right)+{U_R}\left( t \right)

Es gilt:

C = \frac{Q}{{{U_c}}}\quad \Leftrightarrow \quad {U_c} = \frac{Q}{C}\quad \Leftrightarrow \quad {\dot U_c} = \frac{I}{C}
{U_R} = {U_a}\left( t \right)

Damit folgt:

{\dot U_e} = {\dot U_c}+{\dot U_R} = \frac{{{I_c}}}{C}+{\dot U_a}\left( t \right)

Einsetzten von {I_c} = {I_R}:

{I_c} = {I_R} = \frac{{{U_R}}}{R}

\Rightarrow \quad {{\dot U}_e} = \frac{{{U_R}}}{{R \cdot C}}+{{\dot U}_a}\left( t \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{{\dot U}_e}\left( t \right) = \frac{{{U_a}\left( t \right)}}{{R \cdot C}}+{{\dot U}_a}\left( t \right)}}

Das ist die gesuchte DGL.

b)

Im dieser Teilaufgabe soll die Antwort des Hochpass-Messgliedes auf folgendes Signal bestimmt werden:

mess-u02-sprungfunktion

Lösung der homogenen Gleichung:

\frac{1}{{RC}} \cdot {U_a}\left( t \right)+{{\dot U}_a}\left( t \right) = 0

\frac{d}{{dt}}{U_a} = -\frac{1}{{RC}}{U_a}

\int {\frac{{d{U_a}}}{{{U_a}}}} = \int {-\frac{1}{{RC}}} \cdot dt

\ln {U_a} = -\frac{1}{{RC}} \cdot t+B

{U_{a,hom}} = B \cdot {e^{-\frac{t}{{RC}}}}

Alternativ könnte man die homogene DGL auch mit dem allgemeinen Ansatz {U_a} = B \cdot {e^{\lambda t}} lösen.

Jetzt betrachten wir die Randbedingungen:

{U_c}\left( {t = 0} \right) = 0

{U_a}\left( {t = 0} \right) = {U_e}\left( {t = 0} \right) = {U_0}

{U_a}\left( {t = 0} \right) = B \cdot {e^0} = {U_0}\quad \Rightarrow \quad B = {U_0}

Jetzt kommen wir zur partikulären Lösung:

Für t \to \infty \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dt}} = 0

\underbrace {{{\dot U}_e}\left( {t \to \infty } \right)}_{ = 0!} = \frac{1}{{RC}}{U_a}\left( {t \to \infty } \right)+\underbrace {{{\dot U}_a}\left( {t \to \infty } \right)}_{ = 0!}

\Rightarrow \quad {U_a}\left( {t \to \infty } \right) = 0 = {U_{a,part}}

Für die Gesamtlösung gilt also:

{U_a}\left( t \right) = {U_{a,\hom }}+{U_{a,part}}

{U_a}\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{-\frac{1}{{RC}} \cdot t}}

Damit sieht die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes wie folgt aus:

mess-u02-sprungantwort-hochpass-messglied

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}