U 02.4 – Erste Variation und Euler-Lagrange-DGL (2)

Es seien

$D = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {0,1 } \right];\quad y\left( 0 \right) = 0,\quad y\left( 1 \right) = \beta } \right\}$

und $J:D \to \mathbb{R}$ gegeben durch

$J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {\left( {{y^2}\left( t \right)+{t^2}\dot y\left( t \right)} \right)dt}$

Berechnen Sie die erste Variation $\delta J\left( {y;\;v} \right)$ für $y \in D$ und $v \in {C^2}$ (mit $v\left( 0 \right) = 0 = v\left( 1 \right)$ ).
Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung zum Variationsproblem
$J\left( y \right)\mathop = \limits^! Extr.$
auf. Für welche Werte $\beta$ existiert eine Lösung in D?

Lösung

$D = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {0,1} \right],\quad y\left( 0 \right) = 0,\quad y\left( 1 \right) = \beta } \right\}$

$J\left( y \right) = \int_0^1 {\left( {{y^2}\left( t \right)+{t^2}\dot y\left( t \right)} \right)dt}$

a)

Wir berechnen die erste Variation:

$J\left( {y+\varepsilon v} \right) = \int_0^1 {\left( {{y^2}+2\varepsilon yv+{\varepsilon ^2}{v^2}+{t^2}\left( {\dot y+\varepsilon \dot v} \right)} \right)dt}$

${\left. {\delta J\left( {y;\;v} \right) = \frac{d}{{d\varepsilon }}J\left( {y+\varepsilon v} \right)} \right|_{\varepsilon = 0}} = {\left. {\int_0^1 {\left( {2yv+2\varepsilon {v^2}+{t^2}\dot v} \right)dt} } \right|_{\varepsilon = 0}}$

$\quad \Rightarrow \quad \delta J\left( {y;\;v} \right) = {\left[ {\frac{d}{{d\varepsilon }}J\left( {y+\varepsilon v} \right)} \right]_{\varepsilon = 0}} = \int_0^1 {\left( {2yv+\underbrace {{t^2}}_f\underbrace {\dot v}_{{g^\prime }}} \right)dt}$

$\quad \Rightarrow \quad \delta J\left( {y;\;v} \right) = \int_0^1 {2yvdt} +\underbrace {\left[ {{t^2}v} \right]_0^1}_{ = 0}-\int_0^1 {2tvdt} = 2\int_0^1 {\left( {y-t} \right)vdt} \mathop = \limits^! 0$