U 02 – Motor-Antennen-System

 

Gegeben ist ein einfaches Motor-Antennen-System. Für kleine Ausführungen mit Gleichstrommotor und spielarmem Getriebe genügt meistens die Beschreibung durch lineare Differentialgleichungen.

Aufbau des Motors:

rt-u02-motor-antenne-system-aufbau

Vom Motor erzeugtes Moment:

{M_M}\left( t \right) = {K_M} \cdot u\left( t \right)-{a_M} \cdot \omega \left( t \right)

Antriebsmoment der Antenne (Getriebeübersetzung = 1):

{M_A}\left( t \right) = {M_T}+{M_{RA}} = {I_A} \cdot \dot \omega \left( t \right)+{d_A} \cdot \omega \left( t \right)

\varphi \left( t \right) = \int\limits_0^t {\omega \left( \tau \right)d\tau }

Aufgaben:

  1. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion {G_{\omega u}}\left( s \right) und {G_{\varphi u}}\left( s \right).

  2. Zeichnen Sie ein Blockschaltbild für den Regelkreis mit einer Führungsgröße w, Vorverstärkungsfaktor {k_w} für w, Proportionalrückführungen {k_\varphi } für \varphi und {k_\omega } = {k_\varphi } für \omega.

Für die weiteren Aufgaben soll die Streckenverstärkung {K_S} = 8 sein und der Streckenpol bei {\lambda _{S0}} = -{a_S} = -2 liegen. Die Sollvorgaben sind:

{\lambda _{g1,2}} = -{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \pm j} \right)

Die Streckenverstärkung für den geschlossenen Kreis soll {K_g} = 1 sein.

  1. Sind die Sollpole ohne \omega-Rückführung zu erreichen? Klären Sie die Frage anhand des Wurzelortes.

  2. Schließen Sie den Kreis mit dem Verfahren der sequentiellen Kreisschließung im Wurzelort.

  3. Bestimmen Sie {G_1} und {G_2} so, dass das folgende Blockschaltbild mit dem vorangegangenen in b) äquivalent ist.

    rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-1

  4. Schließen Sie den oben abgebildeten Kreis im Wurzelort, so dass die geforderten Vorgaben erfüllt sind.

  5. Zeigen Sie im Wurzelort, dass alle Vorgaben auch mit einer \varphi-Rückführung und mit einem PDT1-Glied erfüllt werden können (also ohne das \dot \varphi-Signal zu benutzen).

Lösung

a) Übertragungsfunktionen

Als Vorbetrachtung folgt hier zunächst die Herleitung der Motorgleichung.

Hier das Ersatzschaltbild des Motors:

rt-u02-ersatzschaltbild-gleichstrommotor

Zuerst wird die Maschengleichung aufgestellt:

u = {u_R}+{u_L}+{u_{EMK}}

\Rightarrow \quad u = R \cdot i+L \cdot \frac{{di}}{{dt}}+{c_u} \cdot \omega \approx iR+{c_u}{\omega _s}

uL ist in etwa 0, da gilt:

L \cdot \frac{{di}}{{dt}} \approx 0\quad f\ddot ur\quad {\tau _M} = \frac{L}{R} \ll {\tau _s}

Zudem gilt für das Motormoment die folgende Gleichung:

M = {c_M} \cdot i

cM und cu sind übrigens keine Kapazitäten, sondern Motorkonstanten. Allgemein gilt meist {c_M} = {c_U}.

Durch Einsetzen folgt für das erzeugte Motormoment:

\boxed{M = \frac{{{c_M}}}{R} \cdot u-\frac{{{c_M} \cdot {c_u}}}{R} \cdot \omega }

Grafisch sieht diese Gleichung wie folgt aus:

rt-u02-grafische-darstellung-motorgleichung

Durch Einführen der beiden neuen Konstanten KM und aM erhalten wir die in der Aufgabenstellung angegebene Motorgleichung für das Motor-Antenne-System:

\boxed{{M_M}\left( t \right) = {K_M} \cdot u\left( t \right)-{a_M} \cdot \omega \left( t \right)}

Dabei ist {M_M} das vom Motor erzeugte Moment.

Für die Antenne gilt:

{M_A} = {I_A}\dot \omega +{d_A}\omega

Dabei ist {M_A} das von der Antenne erzeugte Moment, bestehend aus dem Produkt aus Trägheitsmoment {I_A} und Winkelgeschwindigkeit \dot \omega der Antenne sowie einer geschwindigkeitsproportionalen Reibung.

Nun kommen wir zur eigentlichen Aufgabe, der Bestimmung der Übertragungsfunktionen.

Dabei ist zu beachten, dass wir 2 Übertragungsfunktionen bestimmen müssen:

{G_{\omega u}}\left( s \right) mit ω als Ausgangsgröße und u als Eingangsgröße.

{G_{\varphi u}}\left( s \right) mit \varphi als Ausgangsgröße und u als Eingangsgröße.

Da das Getriebe eine Übersetzung von 1 hat, entspricht die Winkelgeschwindigkeit des Motors derjenigen der Antenne. Da der Motor das Moment der Antenne überwinden muss, setzen wir das Motorantriebsmoment gleich dem Lastmoment:

{M_M} = {M_A}

\Rightarrow \quad {K_M}u = {I_A}\dot \omega +\left( {{d_A}+{a_M}} \right)\omega

Wir stellen um, damit wir eine Differentialgleichung in der Winkelgeschwindigkeit \omega erhalten:

\Rightarrow \quad \dot \omega \left( t \right)+\underbrace {\frac{{{d_A}+{a_M}}}{{{I_A}}}}_{{a_S}}\omega \left( t \right) = \underbrace {\frac{{{K_M}}}{{{I_A}}}}_{{k_S}}u\left( t \right)

\Rightarrow \quad \dot \omega +{a_S}\omega = {k_S}u,\quad \quad \omega = \dot \varphi

Um die Übertragungsfunktionen zu bestimmen, führen wir nun eine Laplace-Transformation in den Bildbereich durch,:

\omega \left( t \right)\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:\Omega \left( s \right)

\varphi \left( t \right)\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:\Phi \left( s \right)

\Rightarrow \quad s\Omega \left( s \right)+{a_S}\Omega \left( s \right) = {k_S}U\left( s \right)m

Nach dem Differentiationssatz gilt:

\dot \varphi = \omega \quad \circ - \bullet \quad s\Phi \left( s \right) = \Omega \left( s \right)

Damit ergeben sich die beiden gesuchten Übertragungsfunktionen:

{G_{\omega u}} = \frac{{\Omega \left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{{k_S}}}{{s+{a_S}}} = \frac{{{K_S}}}{{s\left( {\frac{s}{{{a_S}}}+1} \right)}}

{G_{\varphi u}} = \frac{{\Phi \left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}} = \frac{{{K_S}}}{{s\left( {\frac{s}{{{a_S}}}+1} \right)}}

Dabei gilt:

{K_S} = \frac{{{k_S}}}{{{a_S}}}

Die beiden Funktionen kann man sich so vorstellen:

rt-u02-gleichstrommotor-uebertragungsfunkti on

b) Blockschaltbild für den MAS-Regelkreis

rt-u02-blockschaltbild-fuer-den-mas-regelkreis

c) Sollpole ohne ω-Rückführung zu erreichen? / Wurzelort

Einschub: Zusammenhang zwischen Polen und Impulsantworten

rt-u02-zusammenhang-zwischen-polen-und-impulsantworten

Beispielhaft seien hier folgende Zusammenhänge hervorgehoben:

1 \to 2: Frequenz gleich, Dämpfung geringer

1 \to 6: \frac{{{\delta _1}}}{{{\omega _1}}} = \frac{{{\delta _2}}}{{{\omega _2}}}: Verhältnis gleich

1 \to 5: Einhüllende identisch, Frequenz anders

8: Doppelpol: {e^{-\delta t}}+t \cdot {e^{-\delta t}}

Alternativ zur Aufgabenstellung könnte man auch die Frage stellen, warum müssen wir eigentlich {k_{\dot \varphi }} zurückführen?

Ohne die äußere Rückführung würde das System wie folgt aussehen:

rt-u02-blockdiagramm-bei-weglassen-der-w-rueckfuehrung

Laut Aufgabenstellung soll die Streckenverstärkung {K_S} = 8 sein und der Streckenpol bei {\lambda _{S0}} = -{a_S} = -2 liegen.

Die Sollvorgaben sind:

\boxed{{\lambda _{g1,2}} = -{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \pm j} \right)

Der Index g steht dabei für „gewünscht“.

Damit ergibt sich:

\operatorname{Re} \left\{ {{\lambda _{g1,2}}} \right\} = -2\sqrt 2 = -2,828

\operatorname{Im} \left\{ {{\lambda _{g1,2}}} \right\} = \pm 2\sqrt 2 = \pm 2,828

rt-u02-gewuenschte-polstellen

Für die tatsächlichen Polstellen erhalten wir jedoch durch die Übertragungsgleichung des Systems:

\varphi = \left( {w \cdot {k_w}-{k_\varphi } \cdot \varphi } \right)\frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}

\Rightarrow \quad {G_{\varphi w}} = \frac{\varphi }{w} = \frac{{{k_w}{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)\left( {1+{k_\varphi }\frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}} \right)}}

\Rightarrow \quad {G_{\varphi w}} = \frac{{{k_w}{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)+{k_\varphi }{k_S}}}

s\left( {s+{a_S}} \right)+{k_\varphi }{k_S}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\frac{{{a_S}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{a_S}}}{2}} \right)}^2}-{k_\varphi }{k_S}}

\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -1 \pm j \cdot \ldots

rt-u02-tatsaechliche-polstellen

Die beiden vorgegebenen Pole links werden vom Wurzelort also nicht getroffen, d.h. wenn {k_{\dot \varphi }} = 0 ist, können Polvorgaben nicht erfüllt werden.

Um dennoch die Polvorgaben zu erfüllen, müssten wir das System irgendwie verändern, damit die Polstellen durch die WOK erreicht werden. Man könnte z.B. durch Ändern der Verstärkung ks die Polstelle bei-{a_s} so weit nach links schieben, dass die Mittelsenkrechte die vorgegebenen Pole erwischt. Dazu müsste gelten: {\bar a_S} = 4\sqrt 2:

rt-u02-blockdiagramm-mit-systemaenderung

Wenn wir nun bereits in dem inneren Kreis die Polstellenvorgabe durch Änderung der Verstärkung erfüllen (und somit Verschiebung des inneren Pols) erfüllen, dann sind im äußeren Kreis automatisch die Vorgaben erfüllt. Wir müssen uns also beim ersten Kreis schon festlegen, damit beim äußeren Kreis die Pole erwischt werden. Dieses erfordert eine gewisse Vorausplanung.

Mit dem Verfahren „sequentielle Kreisschließung“ braucht man diese komplizierte Denkart nicht.

d) Sequentielle Kreisschließung

Sequentielle Kreisschließung ist nichts anderes, als die Vereinfachung der Blockschaltbildalgebra, wie wir sie auch schon in SRT betrachtet haben (Siehe SRT, Übung 7). D.h. es wird Schritt für Schritt jede Rückführung aufgelöst:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-1

Die Auflösung der Rückführungsgrößen geschieht wie folgt:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-2

Somit sieht der innere Kreis anschließend wie folgt aus:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-3

1. Innerer Kreis:

Offen:

{G_{io}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{a_S}}},\quad \quad {K_S} = 8,\quad {a_S} = 2,\quad {k_S} = {K_S} \cdot {a_S} = 16

Index i: innen, o: offen

Beim Schließen ist nun darauf zu achten, dass die gewünschten Polstellen entstehen:

\Rightarrow \quad {\bar a_S} = 2{\delta _g} = 4\sqrt 2

Damit wird der Realteil der Sollvorgabe erfüllt:

{\lambda _{g1,2}} = -{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \pm j} \right)

Auf der WOK erreichen wir die Verschiebung der Polstelle, wie schon angesprochen, durch die Anpassung des Verstärkungsfaktors:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-polverschiebung

Die Verstärkung für einen Punkt {s_1} der WOK ergibt sich aus:

{k_0} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {{s_1}-{p_i}} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left| {{s_1}-{n_i}} \right|} }}

(Falls keine Nullstellen auftreten, ist der Nenner gleich 1 zu setzen)

Damit folgt für die notwendige Verstärkung zur Polverschiebung:

\Rightarrow \quad k = {k_{\dot \varphi }}{k_S} = \frac{{{{\bar a}_S}-{a_S}}}{1} = {l_i} = 4\sqrt 2 -2

\Rightarrow \quad {{\bar a}_S} = {a_S}+{k_{\dot \varphi }}{k_S}

\Rightarrow \quad {k_{\dot \varphi }} = \frac{k}{{{k_S}}} = \frac{{4\sqrt 2 -2}}{{16}} \approx 0,2286

Das Schließen der Einheitsrückführung erfolgt analog zu SRT.

Geschlossen:

{G_{io}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{a_S}}} = Z\quad \Rightarrow \quad {G_{ik}} = \frac{Z}{{N+Z}} = \frac{{\frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{a_S}}}}}{{1+\frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{a_S}}}}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{a_S}+{k_{\dot \varphi }}{k_S}}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{{\bar a}_S}}} = \frac{k}{{s+{{\bar a}_S}}}

Index k: Kreisschließung

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-innen-resultat

Man könnte sich nun fragen, warum wir überhaupt {k_{\dot \varphi }} bestimmt haben, da sich dieses ja im Resultat herauskürzen würde. Es ist jedoch zu bedenken, dass die Kreisschließung lediglich ein Hilfskonstrukt auf dem Papier ist, das der Analyse des Regelkreises dient. Das reale System sieht nach wie vor so aus, wie es in Teilaufgabe b) gezeichnet wurde:

rt-u02-blockschaltbild-fuer-den-mas-regelkreis

Das {k_{\dot \varphi }} dient daher nach wie vor zur Verschiebung des Pols im inneren Kreis.

2. Äußerer Kreis:

Der äußere Kreis, sieht im Blockschaltbild nun wie folgt aus:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-aussen

Offen:

{G_{ao}} = \frac{{{k_\varphi }}}{{{k_{\dot \varphi }}}} \cdot \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}}}{{s+{{\bar a}_S}}} \cdot \frac{1}{s} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{s\left( {s+{{\bar a}_S}} \right)}}

Index a: außen

Geschlossen:

{G_{ak}} = \frac{{\frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{s\left( {s+{{\bar a}_S}} \right)}}}}{{1+\frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{s\left( {s+{{\bar a}_S}} \right)}}}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{s\left( {s+{{\bar a}_S}} \right)+{k_\varphi }{k_S}}}

Nun muss auch noch der Imaginärteil der Sollvorgabe erfüllt werden:

{\lambda _{g1,2}} = -{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \pm j} \right)

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-aeusserer-kreis

Dazu bestimmen wir auch hier wieder die benötigte Verstärkung nach folgender Formel:

{k_0} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {{s_1}-{p_i}} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left| {{s_1}-{n_i}} \right|} }}

\Rightarrow \quad k = {k_\varphi }{k_S} = {l_1}{l_2}

Für die Längenbestimmung wird einfach der Pythagoras angewendet:

{l_1} = {l_2} = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}+I{m^2}} \quad \Rightarrow \quad k = {k_\varphi }{k_S} = {l_1}{l_2} = \delta _g^2+\omega _{eg}^2 = \omega _{0g}^2

Mit dieser Gleichung und {\bar a_S} = 2{\delta _g} folgt:

{G_{ak}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{s\left( {s+{{\bar a}_S}} \right)+{k_\varphi }{k_S}}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{\left( {{s^2}+s{{\bar a}_S}} \right)+\delta _g^2+\omega _{eg}^2}}

\Rightarrow \quad {G_{ak}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{{s^2}+2s{\delta _g}+\delta _g^2+\omega _{eg}^2}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2}}

Für die Verstärkung {k_\varphi }folgt:

{k_\varphi } = \frac{k}{{{k_S}}} = \frac{{\delta _g^2+\omega _{eg}^2}}{{{k_S}}} = \frac{{{{\sqrt 8 }^2}+{{\sqrt 8 }^2}}}{{16}} = 1

Als Blockschaltbild für den geschlossenen Kreis ergibt sich also:

rt-u02-sequentielle-kreisschliessung-aussen-resultat

Die Übertragungsfunktion {G_{ak}} lässt sich mit einer kleinen Nebenbetrachtung noch weiter umformen.

Pol und Eigenwert ist mitunter das Selbe:

{s_{1,2}} = {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm j{\omega _e}

Die Dämpfung D ist definiert als:

D = :\frac{\delta }{{{\omega _0}}}

Es gilt:

\sin {\phi _D} = \frac{\delta }{{{\omega _0}}}

{\sin ^2}x+co{s^2}x = 1\quad \Leftrightarrow \quad \cos x = \sqrt {1-{{\sin }^2}x}

\Rightarrow \quad {\omega _e} = {\omega _0} \cdot \cos {\phi _D} = {\omega _0}\sqrt {1-{D^2}}

Für D = 0 ist \omega = {\omega _0}, also die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.

Es gilt:

{\omega _0} = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}+I{m^2}} = \sqrt {{\delta ^2}+\omega _e^2}

In unserem Fall gilt mit \delta = 2\sqrt 2:

{\omega _{0g}} = 4,\quad \quad {D_g} = \frac{1}{2}\sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

\Rightarrow \quad {s_{1,2,k}} = {\lambda _{g1,2}} = \boxed{-{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}} = -{D_g}{\omega _{0g}} \pm j{\omega _{0g}}\sqrt {1-D_g^2} }

\Rightarrow \quad {s_{1,2,k}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \mp j} \right)

{k_\varphi }{k_S} = \delta _g^2+\omega _{eg}^2 = \omega _{0g}^2

Es folgt also:

{G_{ak}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2}} = \frac{{\omega _{0g}^2}}{{{s^2}+2D{\omega _{0g}}s+\omega _{0g}^2}}

Aus der Steuer- und Regelungstechnik sollte noch bekannt sein, dass sich beim stabilen System die Übergangsfunktion h\left( t \right) für t \to \infty einem Endwert {K_S} = h\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } h\left( t \right) = {\left. {h\left( t \right)} \right|_{t \to \infty }} nähert, der die statische Verstärkung des Systems beschreibt und auch als Systemverstärkung bezeichnet wird.

Für den Laplace-Bereich gilt dementsprechend nach dem Endwertsatz:

{K_S} = {\left. {h\left( t \right)} \right|_{t \to \infty }} = {\left. {G\left( s \right)} \right|_{s = 0}}

Für unser System gilt:

{\left. {{G_{ak}}} \right|_{s = 0}} = \frac{{{k_\varphi }{k_S}}}{{{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2}} = \frac{{1 \cdot 16}}{{{{\left( {0+\sqrt 8 } \right)}^2}+{{\sqrt 8 }^2}}} = 1

Wenn nun für den geschlossenen Kreis die Streckenverstärkung Kg = 1 sein soll, muss also gelten:

{K_g} = {K_S} = \frac{{{k_W}}}{{{k_\varphi }}}{\left. { \cdot {G_{ak}}} \right|_{s = 0}}\mathop = \limits^! 1\quad \Rightarrow \quad {k_W} = 1

e) Nullstellenmethode

Zu bestimmendes System:

rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-1

Referenzsystem:

rt-u02-blockschaltbild-fuer-den-mas-regelkreis

Aus Teilaufgabe a) wissen wir:

{G_{\varphi u}} = \frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}

Um das Referenzsystem in das zu bestimmende System umzuwandeln gehen wir wie folgt vor und fügen dem äußeren Kreis (durch das [s] im Blockschaltbild) eine Nullstelle hinzu:

rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-2

rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-3

rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-4

Wir erhalten also:

{G_1} = \frac{{{k_w}}}{{{k_{\dot \varphi }}\left( {s+\frac{{{k_\varphi }}}{{{k_{\dot \varphi }}}}} \right)}}

{G_2} = {k_{\dot \varphi }}s+{k_\varphi } = {k_{\dot \varphi }}\left( {s+\frac{{{k_\varphi }}}{{{k_{\dot \varphi }}}}} \right)

rt-u02-motor-antenne-system-sequentielle-nullstellenmethode

{G_0}: Übertragungsfunktion des offenen Kreises

{G_K}: Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises

{G_{\varphi w}}: Übertragungsfunktion des Gesamtsystems mit \varphi und w als Aus- / Eingangsgröße

Statt einer Polstellenverschiebung haben wir hier nun also eine Sollnullstelle erzeugt.

f) Kreisschließung

Wenn man das soeben in Teilaufgabe e) bestimmte System weiter vereinfacht erhält man:

rt-u02-blockschaltbild-nullstellenmethode-5

Wir führen nun eine quantitative Kreisschließung durch. Dazu erweitern wir die Grafik, die bereits aus Teilaufgabe c) bekannt ist:

Zur Erinnerung:

{\lambda _{g1,2}} = -{\delta _g} \pm j{\omega _{eg}} = -2\sqrt 2 \left( {1 \pm j} \right)

Damit nun die gewünschten Polstellen auf der WOK liegen, müsste diese (mit der noch unbekannten Polstelle aus der Übertragungsfunktion) wie folgt aussehen.

rt-u02-wok-kreisschliessung

Aufgrund der Phasenbedingung muss gelten:

{\varphi _C}-{\varphi _1}-{\varphi _2}\mathop = \limits^! \; \pm 180^\circ +360^\circ \cdot k\quad ,\quad k \in \mathbb{N}

Durch Messen erhalten wir:

-{\varphi _1} = -135^\circ

-{\varphi _2} = -106^\circ

\Rightarrow \quad {\varphi _C} = 61^\circ

Aus der Übertragungsfunktion und den Ergebnissen aus Teilaufgabe d) folgt für die Nullstelle:

c = \frac{{{k_\varphi }}}{{{k_{\dot \varphi }}}} = \frac{1}{{0,2286}} \approx 4,37

Diesen Wert können wir aber auch durch Messen erhalten.

Auch hier bestimmen wir nun wieder den Verstärkungsfaktor k:

{k_0} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {{s_1}-{p_i}} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left| {{s_1}-{n_i}} \right|} }} = \frac{{{\text{Polstrecken}}}}{{{\text{Nullstellenstrecken}}}}

\Rightarrow \quad k = {k_{\dot \varphi }}{k_S} = \frac{{{l_1}{l_2}}}{{{l_Z}}} = 3,7\quad \quad = \frac{{\sqrt {\delta _g^2+\omega _{eg}^2} \cdot \sqrt {{{\left( {{\delta _g}-{a_S}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2} }}{{\sqrt {{c^2}+\omega _{eg}^2} }}

\Rightarrow \quad {k_{\dot \varphi }} = \frac{k}{{{k_S}}} = \frac{{3,7}}{{16}} = 0,23

Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises lautete:

{G_O} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+\frac{{{k_\varphi }}}{{{k_{\dot \varphi }}}}} \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+c} \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}} = Z

Durch die Kreisschließung bekommen wir:

{G_K} = \frac{Z}{{N+Z}} = \frac{{\frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+c} \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}}}{{1+\frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+c} \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}}} = \frac{{{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+c} \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)+{k_{\dot \varphi }}{k_S}\left( {s+c} \right)}}

Weiter Umformen kann man nun durch Rechnen oder aber durch einfaches Ablesen an der WOK:

\Rightarrow \quad {G_K} = \frac{{\left( {s+c} \right)}}{{{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2}}

rt-u02-kreisschliessung-resultat-1

Man kann nun natürlich noch weiter vereinfachen:

rt-u02-kreisschliessung-resultat-2

Mit der Festlegung von {k_\varphi } und {k_{\dot \varphi }} ist die Regelungsaufgabe bereits beendet.

Das kw wird im Falle einer vorgegebenen Streckenverstärkung noch zusätzlich bestimmt, so wie es schon in Teilaufgabe d) gemacht wurde.

Alles Weitere, WOK zeichnen, genaues Nachrechnen usw. sollte zur Überprüfung benutzt werden.

g) Vorgabenerfüllung ohne ω-Signal zu benutzen

Erinnerung: Das System sah ursprünglich wie folgt aus:

rt-u02-blockschaltbild-fuer-den-mas-regelkreis

Aus Teilaufgabe a) und e) wissen wir bereits:

{G_{\varphi u}} = \frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}

Eine billige Möglichkeit, alle Vorgaben nun auch ohne die \dot \varphi-Rückführung zu erreichen besteht in der Verwendung eines PDT1-Gliedes als Regler, welches einem Lead-Glied entspricht:

Erinnerung: Lead-Glied aus Übung 1

Unsere Übertragungsfunktion lautete:

G\left( s \right) = k\frac{{s+\alpha a}}{{s+a}}\quad ,\quad a > 0

Im Falle 0 < \alpha < 1 liegt die Nullstelle zwischen Pol und Ursprung. Man spricht hier vom Lead-Glied.

rt-u01-zeigerdarstellung-lead-glied

Hier betrachten wir nun eine etwas andere Formel für das Lead-Glied:

{G_R} = {k_R}\frac{{s+\alpha }}{{s+m\alpha }}\quad ,\quad m > 1

Wenn m > 1 ist, dann ist die Nullstelle näher am Ursprung als der Pol.

Dies ist lediglich eine etwas andere Darstellung, bei der nun die Polstelle variabel ist und nicht die Nullstelle. Die Darstellung eines Lead-Gliedes ist im Allgemeinen nicht einheitlich, sondern variiert je nach Verwendungszweck.

{k_S} ist die Streckenverstärkung! {k_R} ist die Regelverstärkung!

rt-u02-lead-glied-als-regler

Die offene Strecke mit Regler enthält jetzt zwei bekannte Pole (aus GS) sowie einen noch unbekannten Pol und eine noch unbekannte Nullstelle (aus GR).

rt-u02-sollpolstellen

Damit die Zielpole auf der WOK liegen, muss der Phasenbeitrag von Pol- und Nullstelle des Lead-Gliedes 61° sein, denn:

{\varphi _\alpha }-{\varphi _{m\alpha }}-{\varphi _1}-{\varphi _2}\mathop = \limits^! \: \pm 180^\circ +360^\circ \cdot k\quad ,\quad k \in \mathbb{N}

-{\varphi _1} = -135^\circ ,\quad -{\varphi _2} = -106^\circ \quad \Rightarrow \quad {\varphi _\alpha }-{\varphi _{m\alpha }} = 61^\circ

Einen dieser beiden Winkel können wir nun willkürlich wählen. Wir nehmen z.B.:

{\varphi _\alpha } = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad {\varphi _{m\alpha }} = 29^\circ

rt-u02-sollpolstellen-mit-zusatzpol

Im Vergleich zur letzten Teilaufgabe wurde also durch den 3-ten Pol bei {\lambda _3} = -{\beta _g}Ordnung erhöht: n = 3.

Durch Messen erhalten wir dann:

\alpha \approx 2,8\quad ,\quad m\alpha \approx 8

Damit wissen wir, wo sich der 3. Pol im Fall des offenen Kreises befindet.

Die Gesamtverstärkung ergibt sich damit zu:

k = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {{s_1}-{p_i}} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left| {{s_1}-{n_i}} \right|} }} = \frac{{{\text{Polstrecken}}}}{{{\text{Nullstellenstrecken}}}}

Durch Messen erhalten wir dann:

\Rightarrow \quad k = {k_R} \cdot {k_S} = \frac{{{l_1} \cdot {l_2} \cdot {l_{m\alpha }}}}{{{l_\alpha }}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 5,8}}{{2,8}} \approx 24,86

\Rightarrow \quad {k_R} = \frac{k}{{{k_S}}} = \frac{{24,86}}{{16}} \approx 1,55

Damit wären also alle Vorgaben erfüllt.

Zur Bestimmung des Verlaufs der WOK ermitteln wir nun noch den Wurzelschwerpunkt ({S_A} oder auch {\sigma _w}) des Systems. Dies ist der Schnittpunkt der Asymptoten der WOK, welcher wie folgt berechnet wird:

\boxed{{S_A} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} -\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}} }}{{n-m}}}\quad = \frac{{Polwerte-Nullstellenwerte}}{{\# Pole-\# Nullstellen}}

\Rightarrow \quad {S_A} = \frac{{-2-8-2,8}}{2} \approx 3,6

Damit folgt grafisch:

rt-u02-wok-lead-glied

Da sich bei diesem System durch Erhöhung der Systemverstärkung natürlich nicht nur die beiden rechten Pole verschieben, sondern auch der linke, wollen wir nun noch das -{\beta _g} bestimmen, zu dem die Polstelle des Lead-Gliedes wandert.

{G_K} = {k_R}\frac{{s+\alpha }}{{s+m\alpha }}\frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}} = Z

\Rightarrow \quad G_K^\prime = \frac{Z}{{N+Z}} = \frac{{{k_R}\frac{{s+\alpha }}{{s+m\alpha }}\frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}}}{{1+{k_R}\frac{{s+\alpha }}{{s+m\alpha }}\frac{{{k_S}}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)}}}} = \frac{{{k_R}{k_S}\left( {s+\alpha } \right)}}{{s\left( {s+{a_S}} \right)\left( {s+m\alpha } \right)+{k_R}{k_S}\left( {s+\alpha } \right)}}

\Rightarrow \quad {N_K} = s\left( {s+{a_S}} \right)\left( {s+m\alpha } \right)+k\left( {s+\alpha } \right)\quad ,\quad k = {k_R}{k_S}

Aus der Grafik können wir ablesen:

{N_K} = \left[ {{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2} \right]\left( {s+{\beta _g}} \right)

\Rightarrow \quad G_K^\prime = \frac{{{k_R}{k_S}\left( {s+\alpha } \right)}}{{\left( {s+{\beta _g}} \right)\left[ {{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2} \right]}}

Wir führen nun einen Koeffizientenvergleich durch:

{N_K} = s\left( {s+{a_S}} \right)\left( {s+m\alpha } \right)+k\left( {s+\alpha } \right)\quad ,\quad k = {k_R}{k_S}

{N_K} = \left[ {{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2} \right]\left( {s+{\beta _g}} \right)

\Rightarrow \quad s\left( {s+{a_S}} \right)\left( {s+m\alpha } \right)+k\left( {s+\alpha } \right) = {s^3}+{s^2}m\alpha +{s^2}{a_S}+s{a_S}m\alpha {\text{+ks+k}}\alpha

\Rightarrow \quad \left[ {{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2} \right]\left( {s+{\beta _g}} \right) = {s^3}+2{\delta _g}{s^2}+\delta _g^2s+\omega _{eg}^2s+{s^2}{\beta _g}+2{\delta _g}s{\beta _g}+\delta _g^2{\beta _g}+\omega _{eg}^2{\beta _g}

{s^3}:\quad 1 = 1

{s^2}:\quad m\alpha +{a_S} = 2{\delta _g}+{\beta _g}

{s^1}:\quad {a_S}m\alpha +{\text{k = }}\delta _g^2+\omega _{eg}^2+2{\delta _g}{\beta _g}

{s^0}:\quad {\text{k}}\alpha = \delta _g^2{\beta _g}+\omega _{eg}^2{\beta _g}

Nun formen den zweiten Vergleich wir nach {\beta _g} um:

{a_S}+m\alpha = 2{\delta _g}+{\beta _g}

{\beta _g} = {a_S}+m\alpha -2{\delta _g} = 2+8-2 \cdot 2\sqrt 2 = \underline{\underline {4,34}}

Eine Andere Variante der Festlegung von α bestünde darin, eine Pol-Nullstellen-Kürzung hervorzurufen:

\alpha = {a_S}\quad \Rightarrow \quad m\alpha = 2{\delta _g}

\Rightarrow \quad G_K^\prime = \frac{{{k_R}{k_S}\left( {s+\alpha } \right)}}{{{{\left( {s+{\delta _g}} \right)}^2}+\omega _{eg}^2}}

Dies sähe dann wie folgt aus:

rt-u02-resultat-bei-zusaetzlicher-nullstelle

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}