U 03.1 – Poissonverteilung bei Blitzeinschlägen

 

Die Blitzhäufigkeit in Deutschland beträgt 10 Einschläge pro Quadratkilometer und Jahr.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Parzelle von 1 Hektar zu n Blitzeinschlägen in einem Jahr kommt? (0 \leq n \leq 5)?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Parzelle von 1 Quadratkilometer zu n Blitzeinschlägen in einem Jahr kommt (0 \leq n \leq 30)?
  3. Berechnen Sie für beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen den Mittelwert und die Standardabweichung.

Lösung 3.1

Die Formel für die Poissonverteilung ist bereits aus der Vorlesung bekannt (siehe Kapitel 1.7).

\boxed{P\left( {k,t} \right) = \frac{{{{\left( {\lambda \cdot t} \right)}^k}}}{{k!}}\cdot {e^{-\lambda \cdot t}}}

Sie beschreibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Einschläge in der Zeit t bei einer Einschlagsrate von \lambda = \frac{N}{t} stattfinden.

a) Wahrscheinlichkeiten für 1 Hektar

Für die Einheit Hektar gilt:

1\;ha = 0,01\;k{m^2} = 10.000\;{m^2}

Damit beträgt die Einschlagsrate auf einem Hektar pro Jahr:

\lambda = \frac{N}{t} = \frac{{10 \cdot \frac{1}{{k{m^2}}} \cdot 0,01\;k{m^2}}}{{1\;a}} = 0,1\frac{1}{a}

Durch Einsetzten erhält man nun folgende Ergebnisse:

\begin{array}{*{20}{c}} k&\vline & {P\left( {k,1\;a} \right)} \\ \hline 0&\vline & {0,9048} \\ \hline 1&\vline & {0,09048} \\ \hline 2&\vline & {4,52 \cdot {{10}^{-3}}} \\ \hline 3&\vline & {1,51 \cdot {{10}^{-4}}} \\ \hline 4&\vline & {3,77 \cdot {{10}^{-6}}} \\ \hline 5&\vline & {7,54 \cdot {{10}^{-8}}} \end{array}

Grafisch dargestellt sieht diese Verteilung wie folgt aus:

mt2-u03-poisson-verteilung-blitzhaeufigkeit-1

In logarithmischer Darstellung:

mt2-u03-poisson-verteilung-blitzhaeufigkeit-1-logarithmisch

b) Wahrscheinlichkeiten für 1 km2

In diesem Fall beträgt die Einschlagsrate:

\lambda = \frac{N}{t} = 10\frac{1}{a}

Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

\begin{array}{*{20}{c}} k&\vline & {P\left( {k,1\;a} \right)} \\ \hline 0&\vline & {4,54 \cdot {{10}^{-5}}} \\ \hline 1&\vline & {4,54 \cdot {{10}^{-4}}} \\ \hline 2&\vline & {2,27 \cdot {{10}^{-3}}} \\ \hline \vdots &\vline & \vdots \\ \hline{28}&\vline & {1,49 \cdot {{10}^{-6}}} \\ \hline{29}&\vline & {5,13 \cdot {{10}^{-7}}} \\ \hline{30}&\vline & {1,71 \cdot {{10}^{-7}}} \end{array}

Grafisch dargestellt sieht diese Verteilung wie folgt aus:

mt2-u03-poisson-verteilung-blitzhaeufigkeit-2

In logarithmischer Darstellung:

mt2-u03-poisson-verteilung-blitzhaeufigkeit-2-logarithmisch

c) Mittelwert und Standardabweichung

Die Berechnung von Mittelwert / Erwartungswert und Standardabweichung sollte bereits aus der mathematischen Statistik bekannt sein (siehe hier).

Erwartungswert:

Der Erwartungswert E\left( X \right)einer Zufallsvariablen (X) ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen eines Zufallsexperiments als Mittelwert der Ergebnisse ergibt. Er muss selbst aber nicht unbedingt Ergebnis des Experimentes sein.

Der Erwartungswerte lässt sich im stetigen Fall berechnen mit: \int {x\:f\left( x \right)dx}

und im diskreten Fall (wie wir ihn hier vorliegen haben) mit: \sum\limits_{x \in T} {x\:f\left( x \right)}

Varianz:

In der Stochastik ist die Varianz ein Streuungsmaß, also ein Maß für die zu erwartende Abweichung einer Zufallsvariable (X) von ihrem Erwartungswert E(X).

Sie berechnet sich zu:

\operatorname{var} \left( X \right): = E\left( {{{\left( {X-E\left( X \right)} \right)}^2}} \right)\quad \left( { = {\sigma ^2}\left( X \right)} \right)

und ist das sog. zweite zentrale Moment einer Zufallsvariable.

Mit dem Verschiebungssatz folgt daraus:

\operatorname{var} \left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right)-{\left( {E\left( X \right)} \right)^2}

Standardabweichung:

Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung:

\sigma \left( X \right) = \sqrt {\operatorname{var} \left( X \right)}

Sie kann bei einer Normalverteilungskurve an den Wendepunkten abgelesen werden. Dementsprechend hat in folgendem Graphen die Orangen Kurve eine geringere Varianz, als die grüne.

MS-Normalverteilung

Für Aufgabenteil a) gilt:

E\left( X \right) = 0,1

E\left( {{X^2}} \right) = 0,11

\operatorname{var} \left( X \right) = 0,1

\sigma \left( X \right) = \sqrt {0,1} = 0,316

Für Aufgabenteil b) gilt:

E\left( X \right) = 10

E\left( {{X^2}} \right) = 110

\operatorname{var} \left( X \right) = 10

\sigma \left( X \right) = \sqrt {10} = 3,16

\mathcal{J}\mathcal{K}