U 03.1 – Zeitverhalten eines Hochpass-Messgliedes (Teil 2)

 
  1. Leiten Sie die Impulsantwort durch Übergang {T_0} \to 0 eines Spannungsimpulses

    {U_e}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A/T} & {f\ddot ur} & {0 \leq t \leq {T_0}} \\  0 & {f\ddot ur} & {t \geq {T_0}} \\   \end{array} } \right.

    her. A sei dabei definiert als konstante Impulsfläche {U_0} \cdot {T_0}.

  2. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Ableitung der Übergangsfunktion h\left( t \right) = {U_a}\left( t \right)/{U_0} aus der Sprungantwort {U_a}\left( t \right) aus Übung 2.2.b) .

Lösung

mess-u02-schaltbild-hochpass-messglied

Die Lösung die Differentialgleichung kennen wir bereits aus Übung 2.2.a):

{U_a}+\tau {\dot U_a} = \tau {\dot U_e}

a)

Wir haben eine Konstante Fläche mit der Formel:

A = {U_0} \cdot {T_0} = const.\quad {T_0} \to 0

mess-u03-spannungsverlauf-hochpass

Wir trennen das Problem nun in zwei Teile auf. Zum einen betrachten wir den Bereich mit 0 < t < {T_0} und berechnen die klassische Lösung, wie schon bei Übung 2.1. Es ergibt sich die Sprungantwort:

{U_a} = {U_0} \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}

Für den Bereich t > {T_0} suchen wir ebenfalls eine Lösung für die DGL:

{U_a}+\tau {\dot U_a} = \tau {\dot U_e}

Wir teilen wieder in homogene und inhomogene Lösung auf und beginnen mit der homogenen Lösung. Da dies ebenfalls die Antwort auf einen (hier zeitlich verschobenen) Sprung ist, ergibt sich als Lösung:

{U_a} = K \cdot {e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}}

Für die Partikuläre Lösung gilt: t \to \infty

\Rightarrow \quad {U_a} = 0

Damit lautet die Gesamtlösung (als Summer der beiden):

{U_a} = K \cdot {e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}}

Um den Faktor K zu ermitteln verwenden wir jetzt unsere Randbedingung: t \to {T_0}

Vorsicht: Hier müssen wir aufpassen aus welcher der Richtungen wir uns annähern da gilt:

{U_a}\left( {{T_0}-\delta h} \right) \ne {U_a}\left( {{T_0}+\delta h} \right)

Ab dem Moment t = {T_0} wird der Kondensator entladen. Und zwar logischerweise in die entgegengesetzte Richtung. Für \delta h \to 0 gilt daher:

{U_a}\left( {t = {T_0}+\delta h} \right) = 0-{U_c}\left( {t = {T_0}-\delta h} \right)

= -\left( {{U_e}\left( {{T_0}-\delta h} \right)-{U_a}\left( {{T_0}-\delta h} \right)} \right)

= -\left( {{U_0}-{U_0} \cdot {e^{-\frac{{{T_0}-\delta h}}{\tau }}}} \right)

\Rightarrow \quad {U_a}\left( {t = {T_0}} \right) = \underline{\underline {-{U_0}\left( {1-{e^{-\frac{{{T_0}}}{\tau }}}} \right) = K}} = K \cdot {e^{-\frac{{{T_0}-{T_0}}}{\tau }}} = {U_a}\left( {t = {T_0}} \right)

\Rightarrow \quad {U_a}\left( {t > {T_0}} \right) = K \cdot {e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}} = -{U_0} \cdot \left( {1-{e^{-\frac{{{T_0}}}{\tau }}}} \right) \cdot {e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}}

Nun setzen wir noch die Bedingung für die Fläche ein:

{U_0} = \frac{A}{{{T_0}}}

und ermitteln den Grenzwert:

\mathop {\lim }\limits_{{T_0} \to 0} {U_a} = \mathop {\lim }\limits_{{T_0} \to 0} \underbrace {\left( {-\frac{A}{{{T_0}}}} \right)}_{-\infty }\underbrace {\left( {1-{e^{-\frac{{{T_0}}}{\tau }}}} \right){e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}}}_0

\mathop = \limits^{L'hospital} \quad \mathop {\lim }\limits_{{T_0} \to 0} -\frac{A}{1} \cdot \left( {\frac{1}{\tau }{e^{-\frac{{{T_0}}}{\tau }}}{e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}}+\left( {1-{e^{-\frac{{{T_0}}}{\tau }}}} \right){e^{-\frac{{t-{T_0}}}{\tau }}} \cdot \frac{1}{\tau }} \right)

\quad = \underline{\underline {-\frac{A}{\tau } \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}}}

Dies ist die Impulsantwort für t > {T_0} bzw. t > 0.

Für den linken Grenzwert gilt für t = {T_0} \to 0:

{U_a} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {U_0} \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \underbrace {\left( {\mathop {\lim }\limits_{{T_0} \to 0} \frac{A}{{{T_0}}}} \right)}_{ \to \infty } \cdot \underbrace {{e^{-\frac{t}{\tau }}}}_1 = \underline{\underline \infty }

Womit ist der Kondensator durchlässig wäre, was als Kurzschluss interpretiert werden kann.

\Rightarrow Die Korrekte mathematische Darstellung für t \geq 0 mit \delta-Funktion lautet:

\underline{\underline {{U_a}\left( {t \geq 0} \right) = A\left( {\delta \left( t \right)-\frac{1}{\tau }{e^{-\frac{t}{\tau }}}} \right)}}

mess-u03-zeitliches-verhalten-hochpass-spannungsimpuls

b)

Vergleich von „Übergangsfunktion“ aus Sprungantwort mit „Gewichtsfunktion“ aus Impulsantwort.

Übergangsfunktion h\left( t \right) = \frac{{{U_a}\left( t \right)\:aus\:Sprungantwort}}{{{U_0}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  0 & {t \leq 0} \\{{e^{-\frac{t}{\tau }}}} & {t > 0} \\   \end{array} } \right.

Ableitung und Darstellung durch δ-Funktion:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 0} & {\frac{{dh}}{{dt}} = 0} \\{t = 0} & {\frac{{dh}}{{dt}} = \infty } \\{t > 0} & {\frac{{dh}}{{dt}} = -\frac{1}{\tau }{e^{-\frac{t}{\tau }}}} \\   \end{array} } \right\}\quad \frac{{dh}}{{dt}}\left( t \right) = \delta \left( t \right)-\frac{1}{\tau }{e^{-\frac{t}{\tau }}} = \frac{{{U_a}\left( {Impulsantwort} \right)}}{A}

= Gewichtsfunktion\:g\left( t \right)

\boxed{\frac{{dh}}{{dt}}\left( t \right) = g\left( t \right)}

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}