U 03.2 – Fourier-Entwicklung periodischer Funktionen (Fourier-Reihe)

 

Siehe auch:

Reelle Fourieranalyse und Fourierreihenentwicklung

Fourierreihenentwicklung für Sägezahnkurve

Fouriertransformation und Fourieranalyse

mess-u03-periodische-rechteck-funktion

Betrachten Sie die oben skizzierte periodische Funktion mit der Periodendauer {T_0} = \frac{1}{{{f_0}}} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}:

r\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & {f\ddot ur} & {t \in \left[ {n \cdot {T_0},\:\left( {n+\frac{1}{2}} \right) \cdot {T_0}} \right[\quad ,\quad n \in \mathbb{Z}} \\{-1} & {sonst} & {} \\   \end{array} } \right.

  1. Berechnen Sie für die Fourier-Entwicklung

    r\left( t \right) = \frac{{{A_0}}}{2}+\sum\limits_{i = 1}^\infty {\left( {{A_i} \cdot cos\left( {i{\omega _0}t} \right)+{B_i} \cdot sin\left( {i{\omega _0}t} \right)} \right)}

    die Fourier-Koeffizienten {A_i},\:{B_i} für i \leq 4.

  2. Skizzieren Sie im Vergleich zu dem originalen Rechteckverlauf die einzelnen Summanden der Reihe, sowie deren Summe \sum\nolimits_{i = 0}^4 {} für eine Periode v.
  3. Führen Sie beginnend mit dem Zeitpunkt t = 0 graphische eine Digitalisierung der Funktion r\left( t \right) mit den Abtastfrequenzen {f_1} = {f_0},\quad {f_2} = 1.5 \cdot {f_0},\quad {f_3} = 2 \cdot {f_0} und {f_4} = 5 \cdot {f_0} durch.
  4. Mit welcher Frequenz muss die Funktion mindestens abgetastet werden, um die Grundfrequenz der Funktion richtig wiederzugeben?

Lösung

a)

Fourier-Entwicklung

r\left( t \right) = \frac{{{A_0}}}{2}+\sum\limits_{i = 1}^\infty {\left( {{A_i} \cdot cos\left( {i{\omega _0}t} \right)+{B_i} \cdot sin\left( {i{\omega _0}t} \right)} \right)}

(Wichtig: i hier nicht imaginär, sondern für n als Laufindex)

Mit

A_i = \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}} {r\left( t \right) \cdot \cos \left( {i{\omega _0}t} \right)dt}

{B_i} = \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}} {r\left( t \right) \cdot \sin \left( {i{\omega _0}t} \right)dt}

{A_0} = \frac{{{\omega _0}}}{\pi }\int\limits_{}^{} {r\left( t \right) \cdot \cos 0\:dt} = 0

{A_1} = \frac{{{\omega _0}}}{\pi }\int\limits_{}^{} {\underbrace {r\left( t \right) \cdot \cos {\omega _0}t}_{punktsymm.\:um\:\left( {0,\frac{{{T_0}}}{2}} \right)}\:dt} = 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{A_i} = 0}}

mess-u03-integral-symmetrie

{A_i} ist bei Punktsymmetrie immer 0 und {A_0} beschreibt einen Offset nach oben oder unten.

{B_0} = 0

{B_1} = \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}} {r\left( t \right) \cdot \sin \left( {1 \cdot {\omega _0}t} \right)dt}

= \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}} {1 \cdot \sin \left( {1 \cdot {\omega _0}t} \right)dt} +\frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}}^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}} {\left( {-1} \right) \cdot \sin \left( {1 \cdot {\omega _0}t} \right)dt}

= \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \left[ {-\frac{1}{{{\omega _0}}} \cdot \cos \left( {{\omega _0}t} \right)} \right]_0^{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}}+\frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \left[ {\frac{1}{{{\omega _0}}} \cdot \cos \left( {{\omega _0}t} \right)} \right]_{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}}^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}}

= \frac{1}{\pi } \cdot \left( {-\cos \pi -\left( {-\cos 0} \right)} \right)+\frac{1}{\pi } \cdot \left( {\cos 2\pi -\cos \pi } \right)

= \frac{1}{\pi } \cdot \left( {+1+1+1+1} \right) = \underline{\underline {\frac{4}{\pi } = {B_1}}}

{B_2} = \frac{{{\omega _0}}}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}} {r\left( t \right) \cdot \sin \left( {2 \cdot {\omega _0}t} \right)dt}

= \ldots = \frac{1}{\pi } \cdot \left[ {-\frac{1}{2} \cdot \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)} \right]_0^{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}}+\frac{1}{\pi } \cdot \left[ {\frac{1}{2} \cdot \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)} \right]_{\frac{\pi }{{{\omega _0}}}}^{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}}

= \frac{1}{{2\pi }} \cdot \left( {-\cos 2\pi -\left( {-\cos 0} \right)+\cos 4\pi -\cos 2\pi } \right)

= \frac{1}{{2\pi }} \cdot \left( {-1+1+1-1} \right) = \underline{\underline {0 = {B_2}}}

{B_3} = \ldots = \frac{1}{{3\pi }} \cdot \left( {-\cos 3\pi -\left( {-\cos 0} \right)+\cos 6\pi -\cos 3\pi } \right) = \underline{\underline {\frac{4}{{3\pi }}}}

{B_4} = \ldots = \underline{\underline 0}

\Rightarrow \quad f\ddot ur\:i \leq 4:\:\boxed{r\left( t \right) \approx \underbrace {\frac{4}{\pi }}_{{B_1}} \cdot \sin \left( {{\omega _0}t} \right)+\underbrace {\frac{4}{{3\pi }}}_{{B_3}} \cdot \sin \left( {3{\omega _0}t} \right)+ \ldots }

b)

mess-u03-rechteck-fourier

c)

mess-u03-abtast-funktion-1

mess-u03-abtast-funktion-2

mess-u03-abtast-funktion-3

mess-u03-abtast-funktion-4

Bei zu geringer Abtastrate bekommt man falsche oder unzureichende Informationen

Erst bei der doppelten Abtastfrequenz kann die Grundfrequenz exakt bestimmt werden.

d)

Das Shannon-Nyquist-Theorem besagt, dass die Abtastfrequenz \geq 2 x Grundfrequenz sein muss, damit die Grundfrequenz richtig gemessen werden kann.

Genau allgemein: {f_{Takt}} > 2 x Bandbreite = 2 x \left( {{f_{min} }-{f_{max} }} \right)

(Bandbreite = Abstand zwischen minimaler und maximaler Frequenz)

\mathcal{J}\mathcal{K}