U 03.2 – Lichtbrechung und Euler-Gleichung

 

In einem ebenen Medium bewegt sich ein Lichtstrahl im Punkt \left( {x,y} \right) mit Geschwindigkeit 1

v\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{n\left( {x,y} \right)}},

wobei n\left( {x,y} \right) der Brechungsindex des Mediums ist. Aus dem Fermat-Prinzip, welches besagt, dass ein Lichtstrahl sich denjenigen Weg sucht, den er in kürzester Zeit zurücklegen kann, lässt sich herleiten, dass die Bahn \left( {x,y\left( x \right)} \right) des Lichtstrahls das Funktional

J\left( y \right) = \int_{{x_0}}^{{x_1}} {n\left( {x,y} \right)\sqrt {1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}} dx}

minimiert. Ab jetzt sei vorausgesetzt, dass der Brechungsindex nur von der Höhe abhängt, d.h.

n\left( {x,y} \right) = n\left( y \right) > 0.

  1. Zeigen Sie mit Hilfe der Euler-Gleichung, dass die Bahn des Lichtstrahls

    {y^{\prime \prime }} = \frac{{{n^\prime }\left( y \right)}}{{n\left( y \right)}}\left( {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \right)\quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

    erfüllt. Hinweis: Entweder den direkten Weg über \frac{d}{{dx}}{L_{{y^\prime }}} = {L_y} nehmen, oder Gleichung (11) der Vorlesung benutzen \left( {\dot y\left( {{L_y}-{L_{\dot yy}}\dot y-{L_{\dot y\dot y}}\ddot y} \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {L-\dot y{L_{\dot y}}} \right) = 0} \right). Im zweiten Fall muss man aber nachweisen, dass y\left( x \right) = 0 keine Lösung der Euler-Gleichung sein kann.

  2. In der Erdatmosphäre nimmt mit steigender Höhe y der Brechungsindex n\left( y \right) > 0 ab, weil die Luftdichte abnimmt. Dies ist der Grund, warum man die Sonne noch am Horizont sieht, obwohl sie schon untergegangen ist. Folgern Sie dies aus Gleichung (1).
    Hinweis: Was lässt sich aus (1) über das Vorzeichen von {y^{\prime \prime }} aussagen?

Lösung

a)

Gegeben ist:

J\left( y \right) = \int_{{x_0}}^{{x_1}} {\underbrace {n\left( {x,y} \right)}_{n\left( y \right)}\sqrt {1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}} dx}

Zu zeigen ist nun:

{y^{\prime \prime }} = \frac{{{n^\prime }\left( y \right)}}{{n\left( y \right)}}\left( {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \right)

Die Euler-Lagrange Gleichung lautet:

\frac{d}{{dx}}{L_{{y^\prime }}} = {L_y}

wobei in unserem Fall gilt:

L = L\left( {x,y,{y^\prime }} \right) = n\left( {y\left( x \right)} \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }\left( x \right)} \right)}^2}}

{L_y} = {n^\prime }\left( y \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}

{L_{{y^\prime }}} = n\left( y \right)\frac{{{y^\prime }}}{{\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }} = \frac{{n\left( y \right){y^\prime }}}{{\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }}

\frac{d}{{dx}}{L_{{y^\prime }}} = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {n\left( {y\left( x \right)} \right){y^\prime }} \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} -n\left( y \right){y^\prime } \cdot \frac{d}{{dx}}\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dx}}{L_{{y^\prime }}} = \frac{{\left( {{n^\prime }\left( y \right){{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}+n\left( y \right){y^{\prime \prime }}} \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} -n\left( y \right){y^\prime } \cdot \frac{{2{y^\prime }{y^{\prime \prime }}}}{{2\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}}

Wir setzen in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:

\frac{{\left( {{n^\prime }\left( y \right){{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}+n\left( y \right){y^{\prime \prime }}} \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} -n\left( y \right){y^\prime } \cdot \frac{{2{y^\prime }{y^{\prime \prime }}}}{{2\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}} = {n^\prime }\left( y \right)\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{n^\prime }\left( y \right){{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}+n\left( y \right){y^{\prime \prime }}-n\left( y \right){y^\prime } \cdot \frac{{{y^\prime }{y^{\prime \prime }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}} = {n^\prime }\left( y \right)

\quad \Rightarrow \quad {n^\prime }\left( y \right){\left( {{y^\prime }} \right)^2}+n\left( y \right){y^{\prime \prime }}-\frac{{n\left( y \right){{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}{y^{\prime \prime }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}} = {n^\prime }\left( y \right)\left( {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{{n\left( y \right){y^{\prime \prime }}\left( {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \right)-n\left( y \right){{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}{y^{\prime \prime }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}} = {n^\prime }\left( y \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{{n\left( y \right){y^{\prime \prime }}}}{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}}} = {n^\prime }\left( y \right)

\quad \Rightarrow \quad {y^{\prime \prime }} = \underbrace {\frac{{{n^\prime }\left( y \right)}}{{n\left( y \right)}}}_{ < 0}\underbrace {\left( {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \right)}_{ > 0}

b)

n\left( y \right) ist monoton fallend, daher ist {n^\prime }\left( y \right) < 0\quad \Rightarrow \quad {y^{\prime \prime }} < 0

Die Bahnkurve ist also negativ gekrümmt:

u03-licht-brechung-sonne-erde

In der Realität ist die Brechung jedoch äußerst gering und beträgt ca. 0.5^\circ.

Beispiele für den Brechungsindex in Abhängigkeit von der Höhe:

n\left( {0m} \right) = 1,00029

n\left( {8000m} \right) = 1,00011