U 03.3 – Rotations-Minimalfläche

 

Rotations-Minimalflächen ergeben sich bei freiem rechtem Rand als Minimierer von

J\left( y \right) = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {y\left( t \right)\sqrt {1+\dot y{{\left( t \right)}^2}} dt}

auf der Menge

D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {{t_0},{t_1}} \right]:y\left( {{t_0}} \right) = {y_0},\:\:y > 0} \right\}

Die Extremalstellen sind die Lösungen der Differentialgleichung

\frac{y}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = c\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

mit einer Konstanten c \in \mathbb{R}. Zusätzlich sind die Bedingungen y\left( {{t_0}} \right) = {y_0} und \dot y\left( {{t_1}} \right) = 0 zu erfüllen. Ab Teilaufgabe b) seien {t_0} = 0 und {t_1} = 1.

  1. Führen Sie die Gleichung (2) in eine Form über, die nach der Methode „Trennung der Variablen“ lösbar ist und zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung durch
    y\left( t \right) = \cosh \left( {\frac{{t+a}}{c}} \right),\quad a,c \in \mathbb{R},\quad c > 0
    gegeben ist (siehe Hinweise unten!)

  2. Zeigen Sie, dass die Bedingung \dot y\left( {{t_1}} \right) = \dot y\left( {{t_0}} \right) = 0 auf a = -1 führt. Zeigen Sie ferner, dass mit a = -1 die Bedingung y\left( 0 \right) = {y_0} auf die Gleichung
    g\left( c \right): = \cosh \left( {\frac{1}{c}} \right) = {y_0}\quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)
    hinausläuft.

  3. Zeigen Sie, dass es abhängig von {y_0} eine, zwei oder keine Extremale geben kann, die die Bedingung y\left( 0 \right) = {y_0} erfüllt. Tipp: Kurvendiskussion von g\left( c \right) zeigt, dass {g^\prime }\left( c \right) = 0 genau eine Lösung {c_0} > 0 hat, die wegen {g^{\prime \prime }} > 0 ein Minimum ist. Unterscheiden Sie die Fälle, dass {y_0} kleiner, gleich oder größer g\left( {{c_0}} \right) ist.

Hinweise:

Zu a): Die Stammfunktion von \frac{1}{{\sqrt {{s^2}-{c^2}} }} ist {\text{arcosh}}\left( {\frac{s}{c}} \right). Diese ist die Umkehrfunktion von \cosh \left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^x}+{e^{-x}}} \right).

Zu b): Ableitung von \cosh \left( x \right) ist \sinh \left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^x}-{e^{-x}}} \right), Ableitung von \sinh \left( x \right) ist \cosh \left( x \right).

Zu c): Mit den Definitionen von \cosh und \sinh lässt sich {g^\prime }\left( c \right) = 0 umformen zu {e^{2x}} = \frac{{x+1}}{{x-1}}, wobei x = \frac{1}{c}. Diese Gleichung hat eine positive Lösung (das mache man sich mit einer Skizze klar).

Lösung

a)

Den Funktionsverlauf kann man sich in etwa wie folgt vorstellen:

u03-funktionsverlauf-3

Nun lösen wir als erstes die Gleichung nach \dot y auf:

\frac{y}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = c\quad \Rightarrow \quad y = c\sqrt {1+{{\dot y}^2}} \quad \Rightarrow \quad {y^2} = {c^2}\left( {1+{{\dot y}^2}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{y^2}}}{{{c^2}}} = 1+{{\dot y}^2}\quad \Rightarrow \quad {{\dot y}^2} = \frac{{{y^2}-{c^2}}}{{{c^2}}}\quad \Rightarrow \quad \dot y = \frac{{ \pm \sqrt {{y^2}-{c^2}} }}{{\left| c \right|}}

Wegen y > 0 muss auch gelten c > 0. Damit erhalten wir:

\quad \frac{{dy}}{{dt}} = \pm \frac{{\sqrt {{y^2}-{c^2}} }}{c}

Und anschließend (in einer mathematisch bedenklichen Schreibweise):

\frac{{dy}}{{\sqrt {{y^2}-{c^2}} }} = \pm \frac{{dt}}{c}

Integration liefert nun:

{\text{arcosh}}\left( {\frac{y}{c}} \right) = \pm \left( \frac{t}{c}+d \right),\quad c > 0,\:d \in \mathbb{R}

Da es sich bei arcosh um eine achsensymmetrische Funktion handelt, können wir schreiben:

{\text{arcosh}}\left( {\frac{y}{c}} \right) = \frac{t}{c}+d,\quad c \ne 0,\;d \in \mathbb{R}

\quad \Rightarrow \quad y = c\cosh \left( {\frac{t}{c}+d} \right),\quad c \ne 0,\;d \in \mathbb{R}

\quad \Rightarrow \quad y = c\cosh \left( {\frac{{t+a}}{c}} \right),\quad c \ne 0,\;a \in \mathbb{R}

b)

Ab dieser Teilaufgabe soll gelten:

{t_0} = 0,\quad {t_1} = 1

Mit den Bedingungen gilt:

\dot y\left( 1 \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad c\sinh \left( {\frac{{t+a}}{c}} \right) \cdot {\left. {\frac{1}{c}} \right|_{t = 1}} = 0

\quad \Rightarrow \quad \sinh \left( {\frac{{1+a}}{c}} \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad \frac{{1+a}}{c} = 0\quad \Rightarrow \quad a = -1

\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = c\cosh \left( {\frac{{t-1}}{c}} \right)

y\left( 0 \right) = {y_0}

\quad \Rightarrow \quad y\left( 0 \right) = c\cosh \left( {\frac{{-1}}{c}} \right) = {y_0}

\quad \Rightarrow \quad {y_0} = c\cosh \left( {\frac{1}{c}} \right) = :g\left( c \right)

c)

Zunächst folgt eine grafische Darstellung der Funktion:

g\left( c \right): = c \cosh \left( {\frac{1}{c}} \right) = {y_0}

u03-funktionsverlauf-2

Hierbei ist klar zu erkennen:

{y_0} < {g_0}\quad \Rightarrow \quadkeine Lösung für c

{y_0} = {g_0}\quad \Rightarrow \quadgenau 1 Lösung für c = {c_0}

{y_0} > {g_0}\quad \Rightarrow \quadgenau 2 Lösungen für c