Gesucht wird eine Kurve ausgehend von
, auf der ein reibungsfrei gleitender Körper unter Einfluss der Schwerkraft in minimaler Zeit die Gerade
erreicht.
Hinweis: vgl. Skript (13) und (14)
Lösung
Es handelt sich hier um eine Aufgabe, die dem Brachistochrone-Problem sehr ähnlich ist. Im Unterschied zum klassischen Brachistochrone-Problem ist hier aber der Endpunkt nicht fest vorgegeben, sondern nur die -Koordinate. Also muss in
die so genannte natürliche Randbedingung
erfüllt sein. Es gilt für die Brachistochrone:
Die gesuchte Kurve ist also am Endpunkt gerade horizontal:
Gemäß (13) gilt:
Es ergibt sich:
Die Lösungen und
entfallen, da diese auf der
-Achse liegen. Es ist also
. Dies setzen wir in die Gleichung oben ein: