U 04.1 – Brachistochrone mit natürlichen Randbedingungen

 

Gesucht wird eine Kurve C ausgehend von \left( {0,0} \right), auf der ein reibungsfrei gleitender Körper unter Einfluss der Schwerkraft in minimaler Zeit die Gerade x = b erreicht.

Hinweis: vgl. Skript (13) und (14)

Lösung

Es handelt sich hier um eine Aufgabe, die dem Brachistochrone-Problem sehr ähnlich ist. Im Unterschied zum klassischen Brachistochrone-Problem ist hier aber der Endpunkt nicht fest vorgegeben, sondern nur die x-Koordinate. Also muss in x = b die so genannte natürliche Randbedingung

{L_{{y^\prime }}}\left( {b,y\left( b \right),{y^\prime }\left( b \right)} \right) = 0\qquad \left( {14} \right)

erfüllt sein. Es gilt für die Brachistochrone:

L\left( {x,y,{y^\prime }} \right) = \frac{{\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} }}{{\sqrt y }}

\quad \Rightarrow \quad {L_{{y^\prime }}} = \frac{{{y^\prime }}}{{\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}} \sqrt y }}

\quad \Rightarrow \quad {L_{{y^\prime }}}\left( {b,y\left( b \right),{y^\prime }\left( b \right)} \right) = \frac{{{y^\prime }\left( b \right)}}{{\sqrt {1+{{\left( {{y^\prime }\left( b \right)} \right)}^2}} \sqrt {y\left( b \right)} }}\mathop = \limits^! 0

\quad \Rightarrow \quad {y^\prime }\left( b \right) = 0

Die gesuchte Kurve ist also am Endpunkt gerade horizontal:

u04-1-brachistochrone-mit-natuerlichen-randbedingungen

Gemäß (13) gilt:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x = x\left( \alpha \right) = c\left( {\alpha -\sin \alpha } \right)} \\ {y = y\left( \alpha \right) = c\left( {1-\cos \alpha } \right)}  \end{array}} \right\}\quad \Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^\prime }\left( \alpha \right)} \\ {{y^\prime }\left( \alpha \right)}  \end{array}} \right) = c\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\cos \alpha } \\ {\sin \alpha }  \end{array}} \right)

Es ergibt sich:

x\left( \alpha \right) = b\quad \Leftrightarrow \quad c\left( {\alpha -\sin \alpha } \right) = b

{y^\prime }\left( b \right) = 0\quad \Rightarrow \quad c\sin \alpha = 0\quad \mathop \Rightarrow \limits^{c \ne 0} \quad \sin \alpha = 0

\quad \Rightarrow \quad \alpha = 0;\pi ;2\pi

Die Lösungen \alpha = 0 und \alpha = 2\pi entfallen, da diese auf der x-Achse liegen. Es ist also \alpha = \pi. Dies setzen wir in die Gleichung oben ein:

c\left( {\alpha -\sin \alpha } \right) = b\quad \Rightarrow \quad c\pi = b\quad \Rightarrow \quad c = \frac{b}{\pi }

\quad \Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( \alpha \right)} \\ {y\left( \alpha \right)}  \end{array}} \right) = \frac{b}{\pi }\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha -\sin \alpha } \\ {1-\cos \alpha }  \end{array}} \right),\quad \quad 0 \leq \alpha \leq \pi