U 04.1 – Frequenzgang bzw. Übertragungsfunktion für ein Hochpassmessglied

 

Berechnen Sie für den Hochpass aus dem vorherigen Übungsblatt den komplexen Frequenzgang bzw. die sog. Übertragungsfunktion G\left( {i\omega } \right) = {U_a}\left( {i\omega } \right)/{U_e}\left( {i\omega } \right) durch Fourier-Transformation der Gewichtsfunktion g\left( t \right).

Lösung

Hinweis: Der Frequenzgang („Übertragungsfunktion“) ist nicht zu verwechseln mit der Übergangsfunktion h\left( t \right) (Normierte Sprungantwort).

Die Gewichtsfunktion lautete:

g\left( t \right) = \frac{{dh\left( t \right)}}{{dt}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\delta \left( t \right)-\frac{1}{\tau }{e^{-\frac{t}{\tau }}}} & {f\ddot ur} & {t \geq 0} \\  0 & {f\ddot ur} & {t < 0} \\   \end{array} } \right.\quad \quad

Die Übertragungsfunktion gibt an, wie ein Spannungssignal bei einer bestimmten Frequenz übertragen wird.

Die Fourier-Transformation geschieht mit Hilfe folgender Formel:

\boxed{G\left( {i\omega } \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {g\left( t \right) \cdot {e^{-i\omega t}}dt} }

\Rightarrow \quad G\left( {i\omega } \right) = \int\limits_{\underline{\underline 0} }^\infty {\left( {\delta \left( t \right)-\frac{1}{\tau } \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}} \right) \cdot {e^{-i\omega t}}dt}

= \underbrace {\int\limits_0^\infty {\delta \left( t \right) \cdot {e^{-i\omega t}}dt} }_{{e^{-i \cdot 0 \cdot t}} = 1}-\frac{1}{\tau } \cdot \int\limits_0^\infty {{e^{-t\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)}}dt}

= 1-\frac{1}{\tau } \cdot \left[ {\frac{1}{{-\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)}} \cdot {e^{-t\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)}}} \right]_0^\infty

= 1+\frac{1}{{1+i\omega t}}\left( {0-1} \right) = 1-\frac{1}{{1+i\omega t}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {G\left( {i\omega } \right) = \frac{{i\omega t}}{{1+i\omega t}} \overset{\wedge}{=}Frequenzgang\:Hochpass}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

Siehe auch:
SRT: U03 – Laplace-Transformation
SRT: U05.1 – Laplace-Transformation einer Differentialgleichung
SRT: U09.1 – Laplacetransformation