U 04.1 – Rauschen in PIN-Diode und ladungsempfindlichem Verstärker

 

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Diese Aufgabe ist die Fortsetzung von Blatt 3, Aufgabe 2. Nun sollen sämtliche Rauschbeiträge durch alle beteiligten Widerstände, Kapazitäten und auch das Eigenrauschen des Verstärkers betrachtet werden.

  1. Berechnen Sie die Rauschbeiträge der einzelnen Komponenten.
  2. Welchen Einfluss hat das gesamte Rauschen im Eingangskreis auf die Ausgangsspannung nach dem Verstärker?
  3. Welches Frequenzverhalten muss demnach eine dem ladungsempfindlichen Verstärker nachgeschaltete zweite Verstärkerstufe haben, um das Rauschen zu minimieren?
  4. Welchen Einfluss hat das intrinsische Eigenrauschen des zweiten Verstärkers auf das gesamte Signalrauschen?

Lösung zu 4.1

a) Rauschbeiträge

Die beiden wichtigsten Rauschbeiträge entstehen durch Schrotrauschen (shot noise) und thermisches Rauschen (thermal noise). Die Formeln hierfür (vgl. letzte Übung) sind:

{I_{Schrot}} = \sqrt {2qI\Delta f} bei Dioden

{I_{therm}} = \sqrt {\frac{{4kT\Delta f}}{R}} bei den Widerständen {R_B},{R_D},{R_F}

In der letzten Übung hatten wir den Idealfall betrachtet, bei dem der invertierende Eingang als virtuelle Masse betrachtet werden konnte, daher haben sich die Kapazitäten nicht aufgeladen. Hier ist dies aber nicht der Fall, denn {U_{R,V}} erzeugt nun auf allen Kapazitäten Rauschladungen {Q_{R,V}}. Daher müssen wir die Kapazitäten jetzt berücksichtigen. Die Rauschladungen sind:

{Q_{R,V}} = {U_{R,V}}\left[ {{C_D}+{C_L}+{C_F}} \right]

Die Kapazität {C_K} muss hierbei nicht beachtet werden, da diese mit CL und CD in Reihe geschaltet ist und somit bei reiner Betrachtung der Kapazitäten gilt:

{C_K} \gg {C_L},{C_D}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{C} = \frac{1}{{{C_L}+{C_D}}}+\frac{1}{{{C_K}}} \approx \frac{1}{{{C_L}+{C_D}}}

(Die Kapazität {C_F} wird zwar vom Verstärker virtuell in der Form k \cdot {C_F} (also sehr groß) gesehen, das liegt aber daran, dass die intrinsische Kapazität des Verstärkers mit berücksichtigt wird. Bei der reinen Betrachtung der Kapazitäten müssen wir jedoch nicht mit der virtuellen Kapazität rechnen, da der Strom aufgrund des sehr großen Eingangswiderstands (nahezu) nicht durch den Verstärker fließt.)

Wir erhalten den Stromfluss, indem wir die Ladung durch den Zeitbereich teilen, in dem CF eine Relevanz hat. Dieser Zeitbereich entspricht dem Kehrwert der Bandbreite. Daher ergibt sich als Rauschbeitrag der Kapazitäten:

{I_{R,Q}} = {U_{R,V}}\left[ {{C_D}+{C_L}+{C_F}} \right]\Delta f

Dabei ist \Delta f die Bandbreite. Es ist weiter:

{I_{R,tot}} = \sqrt {\sum\limits_i {I_{{R_i}}^2} }

= \sqrt {2q{I_0}\Delta f+4kT\Delta f\left( {\frac{1}{{{R_D}}}+\frac{1}{{{R_B}}}+\frac{1}{{{R_F}}}} \right)+I_{R,V}^2+U_{R,V}^2{{\left( {{C_D}+{C_L}+{C_F}} \right)}^2}{{\left( {\Delta f} \right)}^2}}

Abschätzung:

Wir führen nun eine Abschätzung durch, um zu ermitteln, wie groß dieser Rauschstrom in etwa wird.

Der erste Term (Schrotrauschen) wurde in Aufgabe 3.2 behandelt. Er betrug etwa {I_{R,Schrot}} = 2 \cdot {10^{-10}}A und stellt damit den wesentlichen Rauschbeitrag dar. Auch das thermische Rauschen haben wir dort bereits besprochen. Für einen Widerstand von {R_D} = 50G\Omega sind wir in der Größenordnung {I_{R,therm}} = 4 \cdot {10^{-12}}A, für {R_F} = 1G\Omega bei {I_{R,therm}} = 3 \cdot {10^{-11}}A, für {R_B} = 100M\Omega bei {I_{R,therm}} = 9 \cdot {10^{-11}}A und für {R_B} = 10M\Omega bei {I_{R,therm}} = 3 \cdot {10^{-10}}A.

UB, RB und CB resultieren dabei aus der angelegten Betriebsspannung für die Diode. Typischerweise sollte der Widerstand {R_B} möglichst klein sein, da RB und RD sonst als Spannungsteiler fungieren würden, wodurch eine zu geringe Sperrspannung an der Diode resultieren könnte. Im Allgemeinen ist RB nur bei einem kleinen Anschlusswiderstande an der Diode aufgrund von z.B. hohen Leckströmen relevant.

Bei heute im Handel üblichen Widerstanden liegt das intrinsische Eigenrauschen von Verstärkern bei hochwertigen Produkten im Bereich von {I_{R,V}} \approx 0,1fA und bei billigen Produkten bei {I_{R,V}} \approx 20pA.

Die Eigenrauschspannung liegt im Bereich von {U_{R,V}} = 1nV \ldots 50nV.

Für die Kapazität der Diode gilt etwa: {C_D} = 10pF bei Einer Größe von 1c{m^2} \times 300\mu m\:Si.

Bei 10nV, 10pF und 50MHz folgt daraus ein Rauschstrom von I = 5 \cdot {10^{-12}}A.

Koppelkapazität: {C_F} = 1pF\quad \Rightarrow \quad I = 5 \cdot {10^{-13}}A

Kapazität {C_L} des Leiters: {C_L} = 100\frac{{pF}}{m}\quad \Rightarrow \quad I = 5 \cdot {10^{-11}}\frac{A}{m} (bei langen Leitungen relevant)

b) Einfluss des gesamte Rauschens im Eingangskreis auf die Ausgangsspannung nach dem Verstärker

Je nach Messzeit müssen wir verschiedene Formeln für die Ausgangsspannung benutzen (vgl. Aufgabe 3.2.d):

{U_{a,R}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int\limits_0^{\frac{1}{{\Delta f}}} {\frac{{{I_{R,tot}}}}{{{C_F}}}dt} } & {t < \tau } \\{{I_{R,tot}} \cdot {R_F}} & {t > \tau } \\ \end{array} } \right.

Der untere Term wird dabei natürlich größer als der obere.

c) Frequenzverhalten der nachgeschalteten Verstärkerstufe zur Rauschminimierung

Wir brauchen ein Glied, das auf die kurzen Änderungszeiten (also hohe Frequenzen) reagiert und lange Änderungszeiten (und damit niedrige Frequenzen) ignoriert. Ein solches Glied stellt ein Differenzierer dar. Es gibt zwar keinen idealen Differenzierer, der beliebig große Ableitungen darstellen kann, aber die relative Genauigkeit liegt heute in etwa bei {10^{-4}}.
mt2-u04-verkettung-von-verstaerkern

Sprungdauer \sim 100\:ns

Abtastdauer: {t_{ab}} \approx 100\:\mu s \ldots 1\:ms

Differenzierte Signale sind jedoch wegen des Hochpasscharakters des Differenzierers oft “zittrig”, daher schaltet man häufig noch ein Integrierglied dahinter.

d) Einfluss des Rauschens vom zweiten Verstärker

Die Rauschleistung am Ausgang dividiert durch die Rauschleistung am Eingang ergibt die Rauschzahl:

F:=\frac{{\frac{{{P_{Signal,Eingang}}}}{{{P_{Rausch,Eingang}}}}}}{{\frac{{{P_{Signal,Ausgang}}}}{{{P_{Rausch,Ausgang}}}}}} = \frac{{{P_{SE}}}}{{{P_{SA}}}}\cdot \frac{{{P_{RA}}}}{{{P_{RE}}}} = \frac{1}{{{k^2}}}\cdot \frac{{{P_{RA}}}}{{{P_{RE}}}}

Für die Hintereinanderreihung von zwei Verstärkern erhält man:

\Rightarrow \quad F = \ldots = {F_1}+\frac{1}{{k_1^2}}\left( {{F_2}-1} \right) \approx {F_1}

(siehe auch: Kapitel 1.7 im Skript)

Damit folgt also, dass das Rauschen des zweiten Verstärkers kaum noch einen Einfluss auf die Raschzahl des Gesamtverstärkers hat.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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5 Kommentare zu “U 04.1 – Rauschen in PIN-Diode und ladungsempfindlichem Verstärker”

    \[\Rightarrow \quad F = \ldots = {F_1}+\frac{1}{{k_1^2}}\left( {{F_2}-1} \right) \approx {F_1}\]

Danke für den Hinweis, habs korrigiert.

keine Leitungskapazität CL im Schaltplan enthalten

Stimmt. Hab’s korrigiert. Danke!

Müsste man nicht

    \[C_B\]

mit in die Berechnung von

    \[Q_{R,V}\]

rein nehmen?

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