U 04.1 – Spannungsvektor, Winkel, Schub- und Normalspannung

 

In einem materiellen Punkt P eines Körpers ist der Spannungstensor T gegeben:

\left[ T \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7 & 0 & {-2} \\  0 & 5 & 0 \\{-2} & 0 & 4 \\   \end{array} } \right]\frac{N}{{m{m^2}}}

  1. Man bestimme des Spannungsvektor \vec S\left( {\vec n} \right) aus der durch den Normaleneinheitsvektor
    \vec n = \frac{2}{3}{\vec e_1}-\frac{2}{3}{\vec e_2}+\frac{1}{3}{\vec e_3}
    gegebenen Ebene durch P.

  2. Wie groß sind die Normal- und Schubspannungen an diesem Flächenelement?

  3. Wie groß ist der Winkel α zwischen dem Spannungsvektor \vec S\left( {\vec n} \right) und dem Vektor der Normalspannung {\sigma _n}?

Hinweis: Der Spannungstensor ist immer symmetrisch. Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung (siehe Vorlesung).

Lösung

a) Spannungsvektor bestimmen

Um den Spannungsvektor des Punktes P in Richtung \vec n zu bekommen, müssen wir einfach nur den Tensor mit dem Vektor \vec n multiplizieren:

\vec S\left( {\vec n} \right) = T\:\vec n = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7 & 0 & {-2} \\  0 & 5 & 0 \\{-2} & 0 & 4 \\   \end{array} } \right]\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} \\{-\frac{2}{3}} \\{\frac{1}{3}} \\   \end{array} } \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4 \\{-\frac{{10}}{3}} \\  0 \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}}}

b) Normal- und Schubspannungen

Für den soeben berechneten Spannungsvektor gilt:

\vec S\left( {\vec n} \right) = {\vec \sigma _n}+\vec \tau \quad ,\quad {\vec \sigma _n} = {\sigma _n} \cdot \vec n

Dieser setzt sich also zusammen aus der Spannung in Normalenrichtung und der Schubspannung. Die Normalspannung bekommen wir durch Multiplikation des Spannungsvektors mit der Normale:

{\sigma _n} = {\vec n^T}\vec S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} & {-\frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4 \\{-\frac{{10}}{3}} \\  0 \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}} = \underline{\underline {\frac{{44}}{9}\frac{N}{{m{m^2}}}}}

Die Schubspannung erhalten wir dann wie folgt:

\vec \tau = \vec S-{{\vec \sigma }_n} = \vec S-{\sigma _n} \cdot \vec n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4 \\{-\frac{{10}}{3}} \\  0 \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}-\frac{{44}}{9}\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} \\{-\frac{2}{3}} \\{\frac{1}{3}} \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4 \\{-\frac{{10}}{3}} \\  0 \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{88}}{{27}}} \\{-\frac{{88}}{{27}}} \\{\frac{{44}}{{27}}} \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}

\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {\vec \tau = \frac{1}{{27}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{20} \\{-2} \\{-44} \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}}}

c) Winkel zwischen Spannungsvektor und Vektor der Normalenspannung

Für den Winkel gilt:

\vec S \cdot {{\vec \sigma }_n} = \left| {\vec S} \right|\left| {{{\vec \sigma }_n}} \right| \cdot \cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \vec S \cdot {\sigma _n}\vec n = \left| {\vec S} \right|{\sigma _n} \cdot \cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\vec S \cdot \vec n}_{{\sigma _n}} = \left| {\vec S} \right| \cdot \cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{{{\sigma _n}}}{{\left| {\vec S} \right|}} = \frac{{\frac{{44}}{9}\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{\sqrt {{4^2}+{{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)}^2}} \frac{N}{{m{m^2}}}}} = 0,9389

\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {\alpha = 20,13^\circ }}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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