U 04.2 – Minimierer mit natürlichen Randbedingungen

 

Für y \in {C^2}\left[ {0,1} \right] sei

J\left( y \right) = \int_0^1 {L\left( {t,y\left( t \right),\dot y\left( t \right)} \right)dt},

wobei L die Voraussetzungen der Variationsaufgabe (A) erfüllen möge. Zeigen Sie:

Falls \hat y ein Minimierer von J ist, dann erfüllt \hat y neben der Euler-Lagrange-DGL auch die beiden natürlichen Randbedingungen

{L_{\dot y}}\left( {0,\hat y\left( 0 \right),\dot \hat y\left( 0 \right)} \right) = {L_{\dot y}}\left( {1,\hat y\left( 1 \right),\dot \hat y\left( t \right)} \right) = 0

Lösung

Wir erweitern das Funktional um einen Nullterm:

J\left( y \right) = \int_0^1 {L\left( {t,y\left( t \right),\dot y\left( t \right)} \right)dt} = \underbrace {G\left( {y\left( 0 \right)} \right)-H\left( {y\left( 1 \right)} \right)}_{ = 0}+\int_0^1 {L\left( {t,y\left( t \right),\dot y\left( t \right)} \right)dt}

wobei G\left( y \right) \equiv 0 und H\left( y \right) \equiv 0. Es handelt sich damit um eine Variationsaufgabe vom Bolza-Typ.

Es müssen daher die beiden natürlichen Randbedingungen (20) erfüllt sein:

{L_{\dot y}}\left( {0,y\left( 0 \right),\dot y\left( 0 \right)} \right) = {G^\prime }\left( {y\left( 0 \right)} \right) = 0

{L_{\dot y}}\left( {1,y\left( 1 \right),\dot y\left( t \right)} \right) = {H^\prime }\left( {y\left( 1 \right)} \right) = 0