U 04.2 – Fourier-Analyse der gedämpften Schwingung

 

Die Impulsantwort eines zu untersuchenden Netzwerkes ergibt als Gewichtsfunktion g\left( t \right) den Funktionsverlauf für eine gedämpfte Schwingung

g\left( t \right) = A \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}\sin \left( {{\omega _0}t} \right)

mit der Anfangsamplitude A, Schwingungsfrequenz {f_0} = {\omega _0}/2\pi und Abklingdauer \tau

  1. Berechnen Sie den komplexen Frequenzgang G\left( {i\omega } \right) durch Fourier-Transformation der Gewichtsfunktion g\left( t \right).
  2. Wie lautet der Phasengang?
  3. Der Amplitudengang \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| ergibt sich zu

    \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| = \frac{{A{\omega _0}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{\tau }+\omega _0^2} \right)}^2}-2\left( {\frac{1}{\tau }-\omega _0^2} \right){\omega ^2}+{\omega ^4}} }}

    Diskutieren Sie den Verlauf des Amplitudenganges für den Grenzfall \tau \gg 1/{f_0}. Welche Phasenverschiebung ergibt sich dann?

Lösung

a)

g\left( t \right) = A \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}\sin \left( {{\omega _0}t} \right).

mess-u04-gedaempfte-schwingung

G\left( {i\omega } \right) = \int_{-\infty }^\infty {g\left( t \right){e^{-i\omega t}}dt} = \int_0^\infty {A\sin \left( {{\omega _0}t} \right){e^{-\frac{t}{\tau }}}{e^{-i\omega t}}dt}

= \int_0^\infty {A\sin \left( {{\omega _0}t} \right){e^{-\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right) \cdot t}}dt}

Um dieses Integral zu lösen nutzen wir die Integraltabelle aus dem Bronstein. Wir haben hier ein Integral der Form \int_0^\infty {\sin \left( {at} \right){e^{-bt}}dt}. Diese ist zu finden unter Integral Nummer 459.

\Rightarrow\quad G\left( {i\omega } \right) = A \cdot \left[ {\frac{{{e^{-\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)}^2}+\omega _0^2}} \cdot \left\{ {\left( {-\frac{1}{\tau }-i\omega } \right)\sin \left( {{\omega _0}t} \right)-{\omega _0}\cos \left( {{\omega _0}t} \right)} \right\}} \right]_0^\infty

= \frac{A}{{{{\left( {\frac{1}{\tau }+i\omega } \right)}^2}+\omega _0^2}} \cdot \left\{ {{e^{-\infty }} \cdot \left( \ldots \right)-\left( {0-{\omega _0} \cdot 1} \right)} \right\}

= \frac{{A{\omega _0}}}{{\frac{1}{{{\tau ^2}}}+2\frac{{i\omega }}{\tau }-{\omega ^2}+\omega _0^2}} = \frac{{A{\omega _0}}}{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)+2i\frac{\omega }{\tau }}} = \underline{\underline {A{\omega _0} \cdot \frac{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)-2i\frac{\omega }{\tau }}}{{{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+4\frac{{{\omega ^2}}}{{{\tau ^2}}}}} = G\left( \omega \right)}}

\underline{\underline {\operatorname{Re} \left( G \right) = \frac{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+4\frac{{{\omega ^2}}}{{{\tau ^2}}}}}}} \quad ;\quad \underline{\underline {\operatorname{Im} \left( G \right) = \frac{{-2i\frac{\omega }{\tau }}}{{{{\left( {\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+4\frac{{{\omega ^2}}}{{{\tau ^2}}}}}}}

b)

\varphi = \arctan \left( {\frac{{\operatorname{Im} \left( G \right)}}{{\operatorname{Re} \left( G \right)}}} \right) = \underline{\underline{\arctan \left( {\frac{{-2\frac{\omega }{\tau }}}{{\frac{1}{{{\tau ^2}}}+\omega _0^2-{\omega ^2}}}} \right)}}

c)

\tau \gg \frac{1}{{{f_0}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\tau } \ll {\omega _0} Sehr geringe Dämpfung

\mathop {\lim }\limits_{\frac{1}{\tau } \to 0} \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|\quad \to \quad \frac{{A{\omega _0}}}{{\sqrt {\omega _0^4-2\omega _0^2{\omega ^2}+{\omega ^4}} }} = \frac{{A{\omega _0}}}{{\left| {{\omega ^2}-\omega _0^2} \right|}}

Wir können sehen, dass wir eine Polstellen bei \pm {\omega _0} haben, sowie einen Quadratischen Abfall der Funktion.

Des weiteren gilt:

\mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| = \frac{{A{\omega _0}}}{{\omega _0^2}} = \frac{A}{{{\omega _0}}}

\mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| = 0

Aus diesen Angaben können wir nun unser Schaubild konstruieren:

mess-u04-beitragsspektrum-gedaempfte-schwingung

\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \left( \varphi \right) = \mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty ,\:\omega = {\omega _0}} \left( {\arctan \left( {\frac{{-2\frac{{{\omega _0}}}{\tau }}}{{\frac{1}{{{\tau ^2}}}}}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \left( {\arctan \left( {-2{\omega _0}\tau } \right)} \right) = -\frac{\pi }{2}

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}