U 04.2 – Spannungsvektor

 

Der Spannungstensor T mit

\left[ T \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x_2}{x_3}} & {3x_2^2} & 0 \\{3x_2^2} & 0 & {-{x_1}} \\  0 & {-{x_1}} & 0 \\   \end{array} } \right]\frac{N}{{m{m^2}}}

sei gegeben. Berechnen Sie den Spannungsvektor \vec S\left( {\vec n} \right) an der Stelle \vec P = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}} & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & {-1} \\   \end{array} } \right)^T} auf der Fläche x_1^2+x_2^2+{x_3} = 0.

Lösung

Wir benötigen zur Bestimmung des Spannungsvektors den Normalenvektor an der Stelle P, also den Normalenvektor der Fläche:

F\left( {{x_1},\:{x_2},\:{x_3}} \right): = x_1^2+x_2^2+{x_3} = 0

Dazu benötigen wir den Gradienten:

dF = \frac{{\partial F}}{{\partial {x_1}}}d{x_1}+\frac{{\partial F}}{{\partial {x_2}}}d{x_2}+\frac{{\partial F}}{{\partial {x_3}}}d{x_3}\quad \Rightarrow \quad dF = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial F}}{{\partial {x_1}}}} & {\frac{{\partial F}}{{\partial {x_2}}}} & {\frac{{\partial F}}{{\partial {x_3}}}} \\   \end{array} } \right)}_{grad\:F} \cdot d\vec x = 0

Wir bestimmen nun den Gradienten der Fläche und normieren ihn:

\operatorname{grad} F\left( {\vec x} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}} \\{2{x_2}} \\  1 \\   \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \vec n\left( {\vec x} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}} \\{2{x_2}} \\  1 \\   \end{array} } \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}} \\{2{x_2}} \\  1 \\   \end{array} } \right)} \right|}}

Nun müssen wir nur noch für \vec x den gewünschten Punkt einsetzen:

\vec x = \vec P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}} \\{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\{-1} \\   \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \vec n\left( {\vec P} \right) = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\{\sqrt 3 } \\  1 \\   \end{array} } \right)

Damit lässt sich nun auch der Spannungsvektor berechnen:

\vec S = T\:\vec n = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{5}{2}\sqrt 3 } & {\frac{9}{4}} & 0 \\{\frac{9}{4}} & 0 & {-\frac{1}{2}} \\  0 & {-\frac{1}{2}} & 0 \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\{\sqrt 3 } \\  1 \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}} = \underline{\underline {\frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{4}\sqrt 3 } \\{\frac{7}{4}} \\{-\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\   \end{array} } \right)\frac{N}{{m{m^2}}}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}