U 04.3 – Fourier-Transformation

 

Berechnen und skizzieren Sie die Fouriertransformierten F\left( \omega \right) der folgenden Funktionen:

  1. Sinus-Funktion:

    f\left( t \right) = A \cdot \sin \left( {{\omega _0}t} \right)

  2. Normierte Gauss-Funktion mit Standardabweichung \sigma:

    f\left( t \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^2}}}{{{\sigma ^2}}}}}

    Hinweis: Erweitern Sie den Exponenten in f\left( t \right) in geeigneter Weise, sodass Sie auf die Form des unbestimmten Integrals \int\limits_{-\infty }^\infty {{e^{-{x^2}}}dx} = \sqrt \pi kommen.

Lösung

a) Sinus-Funktion

Die Fouriertransformierte wird wie folgt berechnet:

F\left( \omega \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {A \cdot \sin \left( {{\omega _0}t} \right) \cdot {e^{-i\omega t}}dt}

Eulersche Formeln:

e^{ix} = \cos x+i\sin x

\sin x = \frac{1}{{2i}} \cdot \left( {{e^{ix}}-{e^{-ix}}} \right)

\cos x = \frac{1}{2} \cdot \left( {{e^{ix}}+{e^{-ix}}} \right)

Damit folgt:

F\left( \omega \right) = \frac{A}{{2i}} \cdot \int\limits_{-\infty }^\infty {{e^{ix}} \cdot {e^{-i\omega t}}-{e^{-ix}} \cdot {e^{-i\omega t}}dt}

= \frac{A}{{2i}} \cdot \int\limits_{-\infty }^\infty {\left( {{e^{i\left( {{\omega _0}-\omega } \right)t}}-{e^{-i\left( {{\omega _0}+\omega } \right)t}}} \right)dt} = \ldots

Da die Delta-Distribution wie folgt definiert ist:

\boxed{\delta \left( \omega \right) = \frac{1}{{2\pi }} \cdot \int {{e^{i\omega t}}dt} }

ergibt sich:

F\left( \omega \right) = \frac{A}{{2i}}\left( {2\pi \cdot \delta \left( {{\omega _0}-\omega } \right)-2\pi \cdot \delta \left( {{\omega _0}+\omega } \right)} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\mathcal{F}\mathcal{T}\left( {A \cdot \sin {\omega _0}t} \right) = A\pi i\left( {\delta \left( {{\omega _0}+\omega } \right)-\delta \left( {{\omega _0}-\omega } \right)} \right)}}

mess-u04-spektralinhalt-sinusschwingung

Wie man erkennt, ergibt sich für den Spektralinhalt einer Sinusschwingung genau eine Frequenz.

Der Deltafunktion kann im Übrigen, obwohl sie unendlich hoch ist, eine endliche Stärke zugewiesen werden.

Bsp.:

f\left( t \right) = {A_1} \cdot \sin \left( {{\omega _1}t} \right)+{A_2} \cdot \cos \left( {{\omega _2}t} \right)+{A_3} \cdot \sin \left( {{\omega _3}t} \right)

mess-u04-spektralinhalt-schwingung

b) Normierte Gauss-Funktion

Gauß-Funktion:

mess-u04-gauss-funktion

f\left( t \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^2}}}{{{\sigma ^2}}}}}

F\left( \omega \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {\frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^2}}}{{{\sigma ^2}}}}} \cdot {e^{-i\omega t}}dt}

Nun wird der Exponent geschickt erweitert durch:

-\frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^2}}}{{{\sigma ^2}}}-i\omega t = -\frac{{{t^2}}}{{2 \cdot {\sigma ^2}}}-2 \cdot \left( {\frac{{i\omega t\sigma }}{{2 \cdot \sigma }}} \right)+\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2} = -{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 \cdot \sigma }}+\frac{{i\omega \sigma }}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}

Damit folgt:

F\left( \omega \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot \int\limits_{-\infty }^\infty {{e^{-{{\left( {\underbrace {\frac{t}{{\sqrt 2 \cdot \sigma }}+\frac{{i\omega \sigma }}{{\sqrt 2 }}}_z} \right)}^2}}}dt} \cdot {e^{-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}}}

Nun substituieren wir:

\frac{{dz}}{{dt}} = \frac{1}{{\sqrt 2 \cdot \sigma }}\quad \Rightarrow \quad dt = \sqrt 2 \cdot \sigma \:dz

Damit ergibt sich:

F\left( \omega \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}}} \cdot \int\limits_{-\infty }^\infty {{e^{-{z^2}}}dz} \cdot \sqrt 2 \cdot \sigma

\Rightarrow \quad F\left( \omega \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }} \cdot {e^{-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}}} \cdot \sqrt \pi

\Rightarrow \quad \underline{\underline {F\left( \omega \right) = {e^{-\frac{{{\omega ^2}{\sigma ^2}}}{2}}}}}

Graphische Darstellung:

Im Zeitraum ergibt sich die kleine blaue Kurve mit der Standardabweichung \Delta t = \sigma

Im Frequenzraum ergibt sich die hohe grüne Kurve mit der Standardabweichung \Delta \omega = \frac{1}{\sigma }

mess-u04-gauss-funktion-standardabweichung

Hinweis:

\Delta E \cdot \Delta t \geq h\quad \Rightarrow \quad \Delta f \cdot \Delta t \geq 1\quad \Rightarrow \quad \Delta t \cdot \Delta \omega \approx 1

\mathcal{J}\mathcal{K}