U 04.3 – Minimierer, Beschränktheit und Mittelwertsatz der Differentialrechnung

 

Für y \in {C^2}\left[ {0,1} \right] sei

J\left( y \right) = \int_0^1 {\left( {{{\dot y}^2}\left( t \right)+\arctan y\left( t \right)} \right)dt}

Zeigen Sie:

  1. J ist nach unten beschränkt.

  2. J besitzt keinen Minimierer.

Hinweis: Aufgabe 2, Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf \dot y anwenden

Lösung

a)

Wir müssen zeigen, dass der Integrand nicht beliebig negativ werden kann. Für den ersten Term gilt:

{\dot y^2}\left( t \right) \geq 0

Für den zweiten Term betrachten wir den Graphen des Arcustangens:

u04-3-arctan

Es gilt:

\arctan \left( \alpha \right) > -\frac{\pi }{2}

Damit folgt:

J\left( y \right) \geq \int_0^1 {\left( {0+\left( {-\frac{\pi }{2}} \right)} \right)dt} \geq -\frac{\pi }{2}

Das Funktional ist also nach unten beschränkt.

b)

Wir führen hier einen Beweis durch Widerspruch. Angenommen, y ist Minimierer von J.
Dann folgt aus Aufgabe 2:

{L_{\dot y}}\left( {0,y\left( 0 \right),\dot y\left( 0 \right)} \right) = 0

{L_{\dot y}}\left( {1,y\left( 1 \right),\dot y\left( 1 \right)} \right) = 0

Wir bilden die Ableitung nach \dot y:

{L_{\dot y}} = 2\dot y

Einsetzen liefert die natürlichen Randbedingungen:

2\dot y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( 0 \right) = 0

2\dot y\left( 1 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( 1 \right) = 0

y muss die Euler-Lagrange-Differentialgleichung erfüllen:

\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dt}}\left( {2\dot y\left( t \right)} \right) = 2\ddot y\left( t \right) = {L_y} = \frac{1}{{1+{y^2}}}

\quad \Rightarrow \quad \ddot y\left( t \right) = \frac{1}{2}\frac{1}{{1+{y^2}\left( t \right)}} > 0

Wir müssen nun einen Widerspruch finden. Dieser kann nur etwas mit den natürlichen Randbedingungen zu tun haben. Wir wenden nun, wie im Hinweis angegeben, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf \dot y an. Dieser besagt, es gibt immer mindestens eine Stelle, an der die Tangente parallel zu der geraden Verbindung zwischen den Endpunkten ist:

u04-3-mittelwertsatz-der-differentialrechnung

Für \dot y bedeutet das:

\dot y\left( 0 \right) = \dot y\left( 1 \right) = 0\quad \mathop \Rightarrow \limits^{MWS} \quad \underbrace {\frac{{\dot y\left( 1 \right)-\dot y\left( 0 \right)}}{{1-0}}}_{ = 0} = \ddot y\left( \tau \right),\quad 0 < \tau < 1

\quad \Rightarrow \quad \ddot y\left( \tau \right) = 0

Die Ableitung von \dot y muss also zwischen 0 und 1 irgendwo den Wert 0 haben. Weiter oben haben wir jedoch bereits gezeigt:

\ddot y\left( t \right) > 0

Es ist also \ddot y\left( \tau \right) = 0 für kein \tau erfüllt. J hat somit keinen Minimierer.