U 04.3 – Transformation des Spannungstensors

Gegeben seien der Spannungstensor $\left[ T \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7 & 0 & {-2} \\ 0 & 5 & 0 \\{-2} & 0 & 4 \\ \end{array} } \right]$ ,

der Normalenvektor $\left\{ {\vec n} \right\} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} & {-\frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\ \end{array} } \right)^T}$

und der Schubspannungsvektor $\vec \tau = \frac{1}{{27}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{20} \\{-2} \\{-44} \\ \end{array} } \right)$ aus Aufgabe 1.

Berechnen Sie den Spannungstensor T’ im Koordinatensystem $\vec e_1^\prime ,\:\vec e_2^\prime ,\:\vec e_3^\prime$ mit:

$\vec e_1^\prime = \vec n,\quad \vec e_2^\prime = \frac{{\vec \tau }}{{\left| {\vec \tau } \right|}},\quad \vec e_3^\prime = \vec e_1^\prime \times \vec e_2^\prime$

Lösung

Wir berechnen nun zunächst die neuen Einheitsvektoren:

$\vec e_1^\prime = \vec n = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} & {-\frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\ \end{array} } \right)^T}$

$\vec e_2^\prime = \frac{{\vec \tau }}{{\left| {\vec \tau } \right|}}$

$\quad \left| {\vec \tau } \right| = \frac{1}{{27}}\sqrt {{{20}^2}+{2^2}+{{44}^2}} = \frac{2}{9}\sqrt {65}$

$\quad \Rightarrow \quad \vec e_2^\prime = \frac{1}{{6\sqrt {65} }}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{20} & {-2} & {-44} \\ \end{array} } \right)^T}$

$\quad \Rightarrow \quad \vec e_3^\prime = \vec e_1^\prime \times \vec e_2^\prime = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} \\{-\frac{2}{3}} \\{\frac{1}{3}} \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{20} \\{-2} \\{-44} \\ \end{array} } \right)\frac{1}{{6\sqrt {65} }}$

$= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{2}{3} \cdot \left( {-44} \right)-\frac{1}{3} \cdot -2} \\{\frac{1}{3} \cdot 20-\frac{2}{3} \cdot \left( {-44} \right)} \\{\frac{2}{3} \cdot \left( {-2} \right)-\left( {-\frac{2}{3}} \right) \cdot 20} \\ \end{array} } \right)\frac{1}{{6\sqrt {65} }}$

$\quad \Rightarrow \quad \vec e_3^\prime = \frac{1}{{\sqrt {65} }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} } \right)$

Für die Transformationsmatrix gilt nun:

$Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec e_1^\prime \cdot {{\vec e}_1}} & {\vec e_1^\prime \cdot {{\vec e}_2}} & {\vec e_1^\prime \cdot {{\vec e}_3}} \\{\vec e_2^\prime \cdot {{\vec e}_1}} & {\vec e_2^\prime \cdot {{\vec e}_2}} & {\vec e_2^\prime \cdot {{\vec e}_3}} \\{\vec e_3^\prime \cdot {{\vec e}_1}} & {\vec e_3^\prime \cdot {{\vec e}_2}} & {\vec e_3^\prime \cdot {{\vec e}_3}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}} & {-\frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\{\frac{{10}}{{3\sqrt {65} }}} & {-\frac{{1}}{{3\sqrt {65} }}} & {-\frac{{22}}{{3\sqrt {65} }}} \\{\frac{5}{{\sqrt {65} }}} & {\frac{6}{{\sqrt {65} }}} & {\frac{2}{{\sqrt {65} }}} \\ \end{array} } \right)$

wobei für die Einheitsvektoren des ursprünglichen Systems immer gilt:

${\vec e_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right),\quad {\vec e_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right),\quad {\vec e_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$

Damit lässt sich nun auch der Spannungstensor in das neue Koordinatensystem umrechnen:

$\underline{\underline {{T^\prime } = Q\:T\:{Q^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4,889} & {\frac{2}{9}\sqrt {65} } & 0 \\{\frac{2}{9}\sqrt {65} } & {6,019} & {1,662} \\ 0 & {1,662} & {5,092} \\ \end{array} } \right)}}$

$\mathcal{J}\mathcal{K}$

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