U 04.4 – Deformation durch Eigengewicht und Last

 

Es sei D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {0,h} \right]:y\left( 0 \right) = 0} \right\}. Das Funktional J:D \to \mathbb{R}, definiert durch

J\left( y \right) = A\int_0^h {\left[ {\frac{1}{2}E{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}+\rho gy\left( x \right)} \right]dx} +Sy\left( h \right)

mit positiven Konstanten h,A,E,\rho ,g,S, soll minimiert werden.

  1. Stellen Sie die drei notwendigen Bedingungen auf, die ein Minimierer y gemäß Vorlesung, Abschnitt 4, erfüllen muss.

  2. Lösen Sie die in a) gefundenen Gleichungen.

Hintergrund: Ein Zylinder aus isotropem Material (Höhe h, Querschnitt A, Dichte \rho, Elastizitätsmodul E) steht senkrecht auf horizontaler Unterlage. Durch seine Gewichtskraft erfährt er eine elastische Deformation: Die in Höhe x befindliche Schicht wird um y\left( x \right) nach unten verschoben. Die durch Lageänderung y\left( x \right) und Dehnung {y^\prime }\left( x \right) bewirkte Formänderungsarbeit beträgt

W\left( y \right) = A\int_0^h {\left[ {\frac{1}{2}E{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}+\rho gy\left( x \right)} \right]dx}.

Die durch J\left( y \right) beschriebene Formänderungsarbeit ergibt sich, wenn man auf den Zylinder noch eine zusätzliche Last S legt. Diese Aufgabe stammt aus dem Buch Höhere Mathematik 2 von Meyberg & Vachenauer.

Siehe auch: Höhere Technische Mechanik

Lösung

Wir haben einen freien Rand. Wegen des Summanden Sy\left( h \right), der eine Funktion am rechten (freien) Rand darstellt, ist die Aufgabe vom Bolza-Typ:

J\left( y \right) = A\int_0^h {\left[ {\frac{1}{2}E{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}+\rho gy\left( x \right)} \right]dx} +\underbrace {G\left( {y\left( 0 \right)} \right)}_{ = 0}-\underbrace {H\left( {y\left( h \right)} \right)}_{ = Sy\left( h \right)}

a)

L\left( {x,y,{y^\prime }} \right) = A\left( {\frac{1}{2}E{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}+\rho gy} \right)

Die erste Bedingung sagt aus, dass die Funktion y aus der Menge D stammen muss:

y \in D\quad \Rightarrow \quad y\left( 0 \right) = 0

Dies ist gleichbedeutend damit, dass sich der Zylinder am unteren Ende nicht verschiebt.

Die zweite Bedingung ist die Euler-Lagrange-Gleichung:

\frac{d}{{dx}}{L_{{y^\prime }}} = {L_y}

Die benötigten Ableitungen lauten:

{L_y} = A\rho g

{L_{{y^\prime }}} = AE{y^\prime }

Eingesetzt in die Euler-Lagrange-DGL:

AE{y^{\prime \prime }}\left( x \right) = A\rho g\quad \Rightarrow \quad {y^{\prime \prime }}\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{E}

Die dritte Bedingung ist die Randbedingung:

{L_{{y^\prime }}}\left( {h,y\left( h \right),{y^\prime }\left( h \right)} \right) = {H^\prime }\left( {y\left( h \right)} \right) = -S

\quad \Rightarrow \quad AE{y^\prime }\left( h \right) = -S

\quad \Rightarrow \quad {y^\prime }\left( h \right) = -\frac{S}{{AE}}

Vergleiche lokale Gleichgewichtsbedingungen / Verschiebungsverteilung Technische Mechanik I:

{N^\prime }\left( x \right) = {\left[ {EA{u^\prime }\left( x \right)} \right]^\prime } = -n\left( x \right)

b)

Wir fangen mit der höchsten Ableitung an und integrieren unter Einbeziehung der Nebenbedingungen:

{y^{\prime \prime }}\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{E}

\quad \Rightarrow \quad {y^\prime }\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{E}x+c

{y^\prime }\left( h \right) = \frac{{\rho g}}{E}h+c\mathop = \limits^! -\frac{S}{{AE}}

\quad \Rightarrow \quad c = -\frac{{\rho g}}{E}h-\frac{S}{{AE}}

\quad \Rightarrow \quad {y^\prime }\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{E}x-\frac{{\rho g}}{E}h-\frac{S}{{AE}}

\quad \Rightarrow \quad y\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{{2E}}{x^2}-\left( {\frac{{\rho g}}{E}h+\frac{S}{{AE}}} \right)x+d

y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad d = 0

\quad \Rightarrow \quad y\left( x \right) = \frac{{\rho g}}{{2E}}{x^2}-\left( {\frac{{\rho g}}{E}h+\frac{S}{{AE}}} \right)x

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2 Kommentare zu “U 04.4 – Deformation durch Eigengewicht und Last”

Servus,

Fehler im Artikel gefunden:
Bei der Lösung zum Bolzatyp muss vor dem H(y) ein “-” sein und kein “+”. Das ist direkt die Zeile bevor Aufgabenteil a) beginnt.

Grüße und bis Morgen,
Rene

Du hast völlig recht. Danke für den Hinweis. Hab’s korrigiert.

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