U 04.5 – Transversalitätsbedingung

 

Es sei D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {-1,0} \right):y\left( {-1} \right) = -1,y\left( b \right) = 2b} \right\} mit einem noch unbestimmten b < 0.
Auf D sei

J\left( y \right) = \int_{-1}^b {{{\left( {t\dot y} \right)}^2}dt}

zu minimieren.

  1. Stellen Sie die 4 Gleichungen auf, die ein Minimierer notwendig erfüllen muss.

  2. Lösen Sie die Gleichungen aus a).

Lösung

Hier ist eine Funktion für den rechten Rand gegeben (Transversalitätsbedingung):

D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {-1,0} \right):y\left( {-1} \right) = -1,y\left( b \right) = \underbrace {2b}_{ = f\left( b \right)}} \right\}

a)

Wir stellen nun die vier benötigten Bedingungen auf.

Analog zu Aufgabe 4 ist die erste Bedingung, dass y in der Menge D liegt:

y \in D\quad \Rightarrow \quad y\left( {-1} \right) = -1

Im Gegensatz zu Aufgabe 4 folgt aus y \in D aber noch eine zweite Bedingung:

y \in D\quad \Rightarrow \quad y\left( b \right) = f\left( b \right) = 2b

Die dritte Bedingung ist die Euler-Lagrange-Gleichung:

\frac{d}{{dt}}{L_{\dot y}} = {L_y}

L\left( {t,y\left( t \right),\dot y\left( t \right)} \right) = {t^2}{{\dot y}^2}\left( t \right)

{L_y} = 0,\quad {L_{\dot y}} = 2{t^2}\dot y

\Rightarrow \quad 4t\dot y+2{t^2}\ddot y\left( t \right) = 0

Die vierte Bedingung ist die Transversalitätsbedingung:

\boxed{{{\left. {{L_{\dot y}}+\frac{L}{{\dot f-\dot \hat y}}} \right|}_{t = \hat b}} = 0}

b)

Wir beginnen mit der Gleichung aus der dritten Bedingung (E-L-DGL), um die Differentialgleichung aufzustellen:

4t\dot y+2{t^2}\ddot y\left( t \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \ddot y+\frac{2}{t}\dot y = 0

Da hier kein y auftaucht, können wir den Grad der DGL reduzieren. Dazu substituieren wir:

z: = \dot y,\quad \dot z = \ddot y

\quad \Rightarrow \quad \dot z+\frac{2}{t}z = 0

Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Für solche Aufgaben gibt es eine Standardlösung:

Lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung

{y^\prime }\left( x \right)+r\left( x \right)y\left( x \right) = f\left( x \right)

Die Lösung lautet:

y\left( x \right) = {e^{-R\left( x \right)}}\int {{e^{R\left( x \right)}}f\left( x \right)dx} +c{e^{-R\left( x \right)}},\quad c \in \mathbb{R}

wobei

{R^\prime }\left( x \right) = r\left( x \right)

Im homogenen Fall gilt:

y\left( x \right) = \underbrace {{e^{-R\left( x \right)}}\int {{e^{R\left( x \right)}}\underbrace {f\left( x \right)}_{ = 0}dx} }_{ = 0}+c{e^{-R\left( x \right)}} = c{e^{-R\left( x \right)}},\quad c \in \mathbb{R}

Dies wenden wir auf unsere Aufgabenstellung an und erhalten:

r\left( t \right) = \frac{2}{t}\quad \Rightarrow \quad R\left( t \right) = 2\ln t

\quad \Rightarrow \quad z\left( t \right) = c{e^{-2\ln t}} = c{e^{\ln {t^{-2}}}} = \frac{c}{{{t^2}}},\quad c \in \mathbb{R}

\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = \frac{c}{{{t^2}}}\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = -\frac{c}{t}+d,\quad c,d \in \mathbb{R}

Um die beiden Konstanten zu bestimmen, setzen wir die ersten beiden Bedingungen aus a) ein:

y\left( {-1} \right) = -1\quad \Rightarrow \quad c+d = -1\quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

y\left( b \right) = 2b\quad \Rightarrow \quad -\frac{c}{b}+d = 2b\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

Nun haben wir eine dritte Unbekannte bekommen, das b. Wir brauchen also noch eine dritte Gleichung und benutzen die Transversalitätsbedingung:

{\left. {{L_{\dot y}}+\frac{L}{{\dot f-\dot \hat y}}} \right|_{t = \hat b}} = 0

y\left( b \right) = 2b = f\left( b \right)

\quad \Rightarrow \quad 2{b^2}\dot y\left( b \right)+\frac{{{b^2}{{\dot y}^2}\left( b \right)}}{{2-\dot y\left( b \right)}} = 0

\quad \Rightarrow \quad 2+\frac{{\dot y\left( b \right)}}{{2-\dot y\left( b \right)}} = 0

\quad \Rightarrow \quad 4-2\dot y\left( b \right)+\dot y\left( b \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( b \right) = 4

y\left( t \right) = -\frac{c}{t}+d\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = z\left( t \right) = \frac{c}{{{t^2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{c}{{{b^2}}} = 4

\quad \Rightarrow \quad c = 4{b^2}\quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)

Wir kombinieren die Gleichungen:

\left( 1 \right)-\left( 2 \right)\quad \Rightarrow \quad c+\frac{c}{b} = -1-2b\quad \Rightarrow \quad 4{b^2}+6b+1 = 0

\quad \Rightarrow \quad {b_{1,2}} = \frac{{-6 \pm \sqrt {36-4 \cdot 4 \cdot 1} }}{8} = \frac{{-6 \pm 2\sqrt 5 }}{8} = \frac{{-3 \pm \sqrt 5 }}{4}

\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \quad {c_{1,2}} = \frac{1}{2}\left( {7 \mp 3\sqrt 5 } \right),\quad {d_{1,2}} = \frac{1}{2}\left( {-9 \pm 3\sqrt 5 } \right)