U 05.1 – Faltung von Gauss-Funktion mit δ-Puls

 

Die Antwortfunktion g\left( t \right) eines elektronischen Mess-Netzwerks sei eine Gauß’sche Glockenfunktion mit der Breite {\sigma _g} (Standardabweichung):

g\left( t \right) = \frac{1}{{{\sigma _g}\sqrt {2\pi } }}{e^{-\frac{1}{2}\frac{{{t^2}}}{{\sigma _g^2}}}}

Berechnen Sie die Antwort y\left( t \right) des Netzwerks, falls Sie einen idealen scharfen Puls f\left( t \right) = \delta \left( t \right) anlegen. Was ist messtechnisch also die Antwortfunktion?

Lösung

mess-u05-faltung-gauss-funktion-mit-delta-puls

Die Faltung ist wie folgt definiert:

y\left( t \right) = f\left( t \right) * g\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty  {g\left( {t - x} \right) \cdot f\left( x \right)dx}

Daraus folgt also für diese Aufgabe:

y\left( t \right) = \int_{-\infty }^\infty {g\left( {t-x} \right)\delta \left( x \right)dx} = g\left( {t-0} \right) = \underline{\underline {g\left( t \right)}}

Das bedeutet also:

Die Faltung mit der \delta -Funktion ergibt die Funktion selbst!

Bemerkung:

Eine Faltung im Zeitraum entspricht einer Multiplikation im Frequenzraum!

Wenn wir also die gleiche Rechnung im Frequenzraum betrachten ergibt sich:

Y\left( \omega \right) = F\left( \omega \right) \cdot G\left( \omega \right)

Y\left( \omega \right) = 1 \cdot {e^{-\frac{{{\omega ^2}\sigma^2 }}{2}}}

(vgl. Faltungssatz + Aufgabe 3b, Blatt 4!)

Die Rücktransformation ergibt dementsprechend:

Y\left( t \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{-\frac{{{t^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} = g\left( t \right)

(vgl. Aufgabe 3b, Blatt 4)

Die Antwortfunktion ist also gerade die „Antwort“ auf einen scharfen \delta -Impuls = Impulsantwort.

(„Antwort“ = Mathematische Faltung)

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}