U 05.1 – Gasthermometer

 

Ein Glasrohr mit der inneren Querschnittsfläche A = 5,0m{m^2} wird auf einer Seite durch einen Quecksilberfaden der Länge l = 10,0cm verschlossen, die andere Seite ist zugeschmolzen. Im Rohr ist Stickstoff (N2-Moleküle) eingeschlossen, für den zunächst die Gesetze eines idealen Gases verwendet werden dürfen. In waagerechter Lage betrage die Länge {h_0} des eingeschlossenen Gasvolumens {h_0} = 50,0cm, die Temperatur {T_0} = 295K und der Außendruck {p_0} = 980hPa

  1. Das Rohr wird aufgerichtet. Dabei bleibt die Temperatur konstant ({T_1} = {T_0}). Bestimmen Sie die neue Höhe {h_1} des Gasvolumens.
  2. In der aufgerichteten Stellung wird das Gas auf {T_2} = 373K aufgeheizt. Berechnen Sie die neue Höhe {h_2}.
  3. Betrachten Sie nun das eingeschlossene Gas als reales Gas. Wie groß ist die Höhenänderung im Vergleich zur Rechnung mit der Annahme eines idealen Gases? Es sei dazu:

    a = 136 \cdot {10^3}\frac{{N \cdot {m^4}}}{{kmo{l^2}}},\quad b = 0,039\frac{{{m^3}}}{{kmol}}

Hinweis: Die Dichte von Quecksilber beträgt bei 295 K in etwa 13,55\frac{g}{{c{m^3}}}

Lösung

a) Aufrichten des Rohres

mt2-u05-thermometer

Für diese Aufgabe wird die thermische Zustandsgleichung idealer Gase oder kurz, das ideale Gasgesetz, benötigt. Dieses lautet:

\boxed{p \cdot V = n \cdot {R_m} \cdot T}

p: Druck
V: Volumen
n: Stoffmenge
R_m: universelle oder molare Gaskonstante
T: Temperatur

Bei isothermen Zustandsänderungen gilt: T = \operatorname{const}

Nach dem idealen Gasgesetz ist daher:

{p_0}{V_0} = const. = {p_1}{V_1}\quad \Rightarrow \quad {V_1} = \frac{{{p_0}{V_0}}}{{{p_1}}}\quad \Rightarrow \quad {h_1} = \frac{{{p_0}{h_0}}}{{{p_1}}}

Für den Druck gilt:

{p_1} = {p_0}+\frac{F}{A} = {p_0}+\frac{{m \cdot g}}{A} = {p_0}+\frac{{{\rho _{Hg}} \cdot A \cdot l \cdot g}}{A}

\Rightarrow \quad {h_1} = \frac{{980\:hPa \cdot 50\:cm}}{{980\:hPa+13,55\frac{g}{{c{m^3}}} \cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}} \cdot 0,1\:m}} = \underline{\underline {44\:cm}}

b) Aufheizen des Thermometers

Bei einer isobaren Zustandsänderung gilt: p = \operatorname{const}

Daraus folgt:

\frac{V}{T} = \operatorname{const} .\quad \Rightarrow \quad \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}}\quad \Rightarrow \quad {h_2} = {h_1}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 44\:cm \cdot \frac{{373K}}{{295K}} = \underline{\underline {56,63\:cm}}

c) Reales Gas

Hier benötigt man die Van-der-Waals-Gleichung für ideale Gase:

nRT = \left( {p+\frac{{a{n^2}}}{{{V^2}}}} \right)\left( {V-bn} \right)

n: Stoffmenge
R: universelle oder molare Gaskonstante
T: Temperatur
p: Druck
V: Volumen
a: Kohäsionsdruck (Tabellenwert)
b: Kovolumen (Tabellenwert)

Somit würde beim Aufheizen gelten:

\left( {{p_2}+\frac{{a{n^2}}}{{V_2^2}}} \right)\left( {{V_2}-bn} \right)\frac{1}{{{T_2}}} = \left( {{p_1}+\frac{{a{n^2}}}{{V_1^2}}} \right)\left( {{V_1}-bn} \right)\frac{1}{{{T_1}}}

Diese Gleichung müsste nun noch V2 aufgelöst werden, was allerdings sehr länglich ist und daher an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt wird.

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen